Сингулярные интегралы (стр. 5 из 5)
при возрастании n стремится к нулю (т. к., например, при
будет 
), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла 
.Из (10) и (11) следует, что
.Функция
есть горбатая мажоранта ядра Фейера.Но
, т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n.Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы
Д. К. Фаддеева. Отсюда следует
Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег).Почти везде на [-π, +π] будет
. (12)
Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f(t), лежащих внутри [-π, +π].
Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция
, у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x) суммируема с квадратом. Справедлива следующаяТеорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции
f(x) равны нулю, то f(x) эквивалентна нулю.
В самом деле, в этом случае
и, следовательно, f(x)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм
. Для этого заметим, что 
,так что
.Отсюда
.§4. Сингулярный интеграл Пуассона
Пусть точка xесть точкаdсуммируемой функции f(t), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f(t) равна f(x) (причем
).Интеграл
(0<r<1) есть сингулярный интеграл Пуассона. Если x (-π<x<π) есть точка d суммируемой функции f(t), то 
(П. Фату).1) Докажем, что
- ядро. Т. к. ядро является 2π-периодической функцией, то интеграл от этой функции, рассматриваемый на периоде, не зависит от x. Рассмотрим 
при x=0. 
.Для вычисления интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим
. (1)Обозначим
, тогда 
, а 
.Выражение (1) будет равно
при 0<r<1.Получили, что
и - ядро.2) Докажем, что
. 
, 
.Тогда
. Следовательно достаточно проверить, что 
.Найдем
такое, что на интервале [x- 
, x] ядро 
возрастает, а на [x, x+ 
] убывает. Это возможно, т. к. производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x: 
.Возьмем ε>0 и найдем такое δ (0<δ<
), что при 
будет 
, что возможно, так как xесть точка d, т.е. f(t) в точке t=x есть производная своего неопределенного интеграла.Тогда по лемме И. П. Натансона
, т. к. 
есть ядро, и 
.Таким образом, на интервале [x, x+δ] справедливо неравенство
. На [x-δ, x] интеграл рассматривается аналогично в силу симметричности ядра на интервале [x-δ, x+δ] относительно точки x.Рассмотрим
за пределами [x-δ, x+δ], т.е. на[-π, x-δ,] и на [x+δ, π].
В этих случаях выполняются неравенства
, 
.Тогда
и 
.Следовательно
, т. к. 
, и знаменатель дроби не равен нулю.Аналогично
.То есть
на интервалах [-π, x-δ,] и [x+δ, π].При r, достаточно близких к 1, получим
и 
.При этих r окажется
,так что
и .Таким образом, доказано, что
(0<r<1) есть сингулярный интеграл.Литература
1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.
2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. –
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968.