Сингулярные интегралы (стр. 3 из 5)

Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x(a<x<b) и любом δ>0 ядро

слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ],

[x+δ, b] и

, где H(x) не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая функция f(t), непрерывная в точке x, справедливо равенство

.

Доказательство. Так как

есть ядро, то

,

и достаточно обнаружить, что

.

С этой целью, взяв ε>0, найдем такое δ>0, что при

будет

.

Это возможно в силу непрерывности функции fв точке x.

Тогда при любом n

.

Но каждый из интегралов

, при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ], [x+δ, b]. Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.

И для этих nокажется

, что и требовалось доказать.

Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.

Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.

Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f(t), обладающая тем свойством, что

. (1)

Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [a, b], интеграл

(2)

существует (может быть как несобственный при t=a) и справедливо неравенство

. (3)

В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда

. Если же , то функция g(t) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.

Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g(b)=0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g(t) функцию g*(t), определив ее равенствами

g(t), если ,

g*(t)=

0, если t=b.

Доказав теорему для g*(t), мы затем смогли бы всюду заменить g*(t) на g(t), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g(b)=0.

Пусть a<α<b. На сегменте [α, b] функция g(t) ограничена, и интеграл

(4)

заведомо существует. Если положить

, то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса

,

откуда, после интегрирования по частям, находим

.

Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [0, t-a] выполняется неравенство

и следовательно

, (5)

а так как g(t) убывает, то

. (6)

Значит

. С другой стороны, функция –g(t) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что

.

Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:

.

Отсюда, учитывая (6), следует, что

.

Сопоставляя все сказанное, получаем:

. (7)

Хотя это неравенство установлено при предположении, что g(b)=0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β, где α<β<b. Но тогда, устремляя α и β к a, получим

,

чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при

, то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f(t)=1 в (3) достигается равенство.)

Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро

положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро

, как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [a, x] и убывает в сегменте

[x, b].

Тогда для любой суммируемой функции f(t), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет

.

Доказательство. Так как

есть ядро, то и достаточно проверить, что

.

Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте

[a, x] и [x, b], рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при

будет

,

что возможно, так как f(t) в точке t=x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть

и .

Тогда по предыдущей лемме

.

Так как

есть ядро, то

.

Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K(x) такая, что

.

Таким образом,

.

С другой стороны, если

, то

.

Значит функции

на сегменте [x+δ, b] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте [x+δ, b] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет .