Сингулярные интегралы (стр. 2 из 5)

.

В интеграле

будет , поэтому

,

где

не зависит от n. Аналогично и, следовательно, ,

так что при достаточно больших n будет

, т. е. стремится к 0 с возрастанием n, что и требовалось доказать.

Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции

: при больших значениях n те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от xзначениям t, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x. Но около точки x функция f(t) почти равна f(x) (т. к. она непрерывна при t=x). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f(t) на f(x), т. е. он почти равен интегралу

и, в силу (4), почти равен f(x).

Функция

, обладающая подобными свойствами, носит название ядра.

Определение.Пусть функция

(n=1, 2, …), заданная в квадрате ( , ), суммируема по t при каждом фиксированном x. Она называется ядром, если при условии, что .

Определение. Интеграл вида

, где есть ядро, называется сингулярным интегралом.

В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла

при со значением функции

f(t) в точке x. Так как изменение значения функции f(t) в одной точке никак не отражается на величине

, то необходимо потребовать, чтобы значение f(x) функции f(t) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f(t) в точке t=x. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f(t), и т. п.

Теорема 1 (А. Лебег).Пусть на [a, b] задана последовательность измеримых функций

,

,

, … Если существует такая постоянная K, что при всех n и t будет

, (5)

и если при всяком c (

) будет

, (6)

то, какова бы ни была суммируемая на [a, b] функция f(t), справедливо равенство

. (7)

Доказательство. Если

есть сегмент, содержащийся в [a, b], то из (6) следует, что

. (8)

Рассмотрим непрерывную функцию f(t), и для наперед заданного

разложим [a, b] точками

на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f(t)было меньше, чем ε.

Тогда

. (9)

Но

, так что первая сумма из (9) не больше, чем Kε(b-a). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для окажется меньшей, чем ε. Для этих n будет

,

так что (7) доказано для непрерывной функции f(t).

Пусть f(t)измеримая ограниченная функция

.

Возьмем ε>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g(t), что

, .

Тогда

.

Но

.

Интеграл

по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше ε. Значит, для этих n будет

,

что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.

Пусть f(t) произвольная суммируемая функция.

Возьмем ε>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ>0, чтобы для любого измеримого множества

с мерой me<δ было .

Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g(t), чтобы было

. Это возможно по

Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f(x). Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция g(x) такая, что

.

Можно считать, что на множестве

функция g(t) равна нулю.

Тогда

.

Но

.

Интеграл же

при достаточно больших n будет меньше ε, и при этих n окажется , что и доказывает теорему.

Пример. Пусть

. Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана

Теорема 2 (Риман-Лебег).Для любой суммируемой на[a, b] функции

f(t) будет

.

В частности, коэффициенты Фурье

, произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при .

Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f(t), то мы будем говорить, что последовательность

слабо сходится к нулю.

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке

Во всем дальнейшем будем считать, что ядро

при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f(t).