Сечение многогранников (стр. 2 из 6)

1.2 Преобразования пространства

Для реализации интерактивности изучения пространственных тел необходимо реализовать возможность перемещения, поворота и масштабирования, а для этого необходимо изменять координаты точек фигур по соответствующему закону. Рассмотрим три преобразования которые переводят каждую точку

в точку :

1. Перемещение (параллельный перенос на вектор

).

(1p)

2. Поворот вокруг прямой на угол

. Поворот будем осуществлять вокруг одной из осей координат.

а) вокруг оси OX:

(2px)

б) вокруг оси OY:

(2py)

в) вокруг оси OZ:

(2pz)

3. Масштабирование с коэффициентом

.

(3p)

1.3 Пространственные тела

Как уже говорилось, в памяти компьютера пространственные тела будем хранить в виде координат точек определяющих эти тела. Рассмотрим далее, как хранить те или иные виды пространственных тел и рассмотрим основные способы создания фигур. При описании многогранников необходимо задание координат всех вершин многогранников, а также описание порядка обхода каждой грани. Удобно описывать обход граней почасовой стрелке наблюдая многогранник из вне, тогда нормальный вектор к грани, заданный тройкой следующих подряд вершин, будет направлен из многогранника. Это свойство удобно использовать при визуализации выпуклых многогранников, об этом будет рассказано позднее. С многогранниками все понятно, а как описывать поверхности второго порядка (поверхности вращения, конические поверхности, цилиндрические поверхности, эллипсоид, гиперболоид, параболоид). Их можно представить в виде многогранника с большим количеством граней, и чем больше количество граней, тем точнее приближение. Этот метод является универсальным, он позволяет описывать комбинированные пространственные тела, но не позволяет изучать алгебраические кривые, которые получаются при построении сечений. Приведем общую структуру файла, описывающего многогранник. Файл представляет собой обычный текстовый документ.

Количество вершин многогранника.

Координаты 1й вершины через пробел.

Координаты 2й вершины через пробел.

Количество граней многогранника.

Порядок обхода 1й грани через пробел.

Порядок обхода 2й грани через пробел.

Пример описания куба с ребром равным 2.

80 0 22 0 22 2 20 2 20 0 02 0 02 2 00 2 061 5 8 42 3 7 65 6 7 84 3 2 13 4 8 72 6 5 1

1.4 Поверхности второго порядка

№	Название.	Способ описания.
1.	Конус	Как пирамида с большим числом вершин, в основании которой лежит правильный многоугольник.
2.	Цилиндр	Как призма с большим числом вершин, основаниями которой являются правильные многоугольники.
3.	Сфера	Многогранник, описанный по принципу параллелей и меридианов.
4.	Тор	Совокупность косоугольных цилиндров.

Пример1: Методов получения координат точек сферы.

for iy:=0 to ny-1 do for ix:=0 to nx do beginx:=r*sin(iy*pi/ny)*cos(2*ix*pi/nx);y:=r*sin(iy*pi/ny)*sin(2*ix*pi/nx);z:=r*cos(iy*pi/ny);x:=r*sin((iy+1)*pi/ny)*cos(2*ix*pi/nx);y:=r*sin((iy+1)*pi/ny)*sin(2*ix*pi/nx);z:=r*cos((iy+1)*pi/ny);end;

Глава II. Изучение сечений пространственных тел

2.1 Методы построения сечений многогранников

Геометрические задачи традиционно делятся на три типа:

1) на вычисление;

2) на доказательство;

3) на построение.

Решение любых стереометрических задач требует не только вычислительных и логических умений и навыков, но и умений изображать пространственные фигуры на плоскости (например, на листе бумаги, классной доске), что по сути своей тесно связано с темой «Геометрические построения на плоскости». Стереометрические задачи на вычисления и доказательство легко можно решать, используя правильный рисунок пространственной фигуры. При изучении тем «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве», «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми, между двумя плоскостями» и других тем прекрасным иллюстрационным материалом является решение позиционных и метрических задач на построение пространственных фигур и сечений этих фигур плоскостями. Основными методами построения сечений многогранников являются следующие методы:

1. Метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

2. Метод вспомогательных сечений. Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «скученными». Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

3. Комбинированный метод построения сечений. Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов и методом вспомогательных сечений.

4. Координатный метод построения сечений. Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.

Из всех перечисленных способов построения сечения наиболее приемлемым является координатный метод, так как он связан с большим объемом вычислений и имеет простой алгоритм реализации, что целесообразно реализовать с помощью ЭВМ. Достаточно знать координаты вершин каждой грани многогранника и три точки задающие плоскость сечения.

2.2 Задание сечений пространственных тел

Как уже говорилось, удобнее всего задавать плоскость сечения тремя точками, причем координаты этих точек должны быть известны или должны вычисляться. Рассмотрим возможные варианты задания точек плоскости сечения:

1) точка расположена вне многогранника;

2) точка находится внутри многогранника;

3) точка расположена в грани многогранника;

4) точка принадлежит ребру многогранника;

5) точка принадлежит диагонали многогранника;

6) точка совпадает с вершиной многогранника.

Условие задания секущей плоскости тремя точками будет выполняться не всегда и в этом случае придется вычислять уравнение плоскости сечения, используя другие методы. В данной работе рассматривается лишь способ задания тремя точками.

2.3 Построение сечений пространственных тел. Алгоритм

Метод построения сечения заключается в нахождении точек пересечения секущей плоскости с гранями многогранника, а вернее с ребрами многогранника. Проверка на пересечение секущей плоскости и ребра многогранника производится следующим образом:

1. Составление уравнения секущей плоскости по трем точкам;

2. Подстановка в уравнение координат концов ребра с целью проверки: расположены ли точки в разных полупространствах относительно плоскости сечения.

3. Нахождение точки пересечения ребра многогранника и плоскости сечения.

Для каждой грани записываются две точки, причем запись производится только для тех граней, где плоскость сечения пересекла два ребра. Далее используя полученные данные, строится многоугольник сечения следующим образом:

1. Берем первую пару точек и ищем следующую пару точек в которой повторяется одна из точек первой пары.

2. Найдя следующую пару проделываем для нее тоже самое, что и для первой пары, но исключаем из поиска первую пару.

3. Проделываем весь алгоритм для каждой пары, пока не останется одна ненайденная точка.

4. Полученная цепочка является последовательным описанием ребер многоугольника сечения.

Далее запоминаем полученный многоугольник, как новую грань многогранника.

2.4 Исследование свойств сечения

Перечислим некоторые свойства сечения (исходя из факта, что сечением является многоугольник).

1. Уравнение плоскости сечения.

2. Количество вершин многоугольника сечения.

3. Площадь многоугольника сечения.

4. Координаты вершин многоугольника сечения.

5. Двугранный угол между плоскостью сечения и гранями многогранника.

6. Углы при вершинах многоугольника сечения.

Некоторые из этих свойств реализованы в программе (1,2,3,4).