Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (стр. 1 из 3)

Зміст

Вступ

1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

2. Метод Гауса

3. Метод Жордана-Гауса

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

При розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь можливі такі випадки:

а) система має єдиний розв’язок;

б) система має безліч розв’язків;

в) система не має розв’язків.

У випадках а) і б) систему називають сумісною, а у випадку в) - несумісною.

Якщо система сумісна і має єдиний розв’язок то її називають визначеною, а коли безліч розв’язків - невизначеною. Випадок, коли система має кінцеве число розв’язків більше одного неможливий.

Позначимо через

матрицю системи.

.

Через

позначимо матрицю, яка одержується із матриці

шляхом приєднання стовпця вільних членів

.

Матрицю

називають розширеною матрицею системи (1).

Для того, щоб система рівнянь із

невідомих і

рівнянь була сумісною необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи

дорівнював рангу розширеної матриці

:

.

Зауваження. У випадку сумісності системи система має єдиний розв’язок (визначена), коли

і нескінченну кількість розв’язків (невизначена), коли

, де

- кількість невідомих.

Однорідна система

лінійних рівнянь з

невідомими має вигляд:

Однорідна система завжди сумісна, так як вона має розв'язок

, який називається нульовим або тривіальним.

Якщо визначник системи

, то тривіальний розв’язок буде єдиним розв’язком системи (3). Відмітимо, що ранг матриці системи і ранг розширеної матриці рівні.

Якщо

, тоді ранг матриці системи і ранг розширеної матриці системи (3) менше числа

. Припустимо, що вони дорівнюють

. Тоді система (3) має нескінченну множину розв’язків

,

де

- довільне дійсне число, а

- алгебраїчні доповнення елементів

-го рядка матриці системи. Дійсно, підставляючи ці числа в ліві частини рівнянь системи (3), одержимо:

Рівняння системи перетворились в тотожності, так як якщо

сума

дорівнює нулеві (ця сума є сумою добутків елементів

-го рядка визначника на алгебраїчні доповнення другого

-го рядка визначника). Якщо

сума

також дорівнює нулеві, так як вона дорівнює визначнику системи

, який дорівнює нулеві.

Відмітимо, що при побудові розв’язку системи беруться алгебраїчні доповнення того рядка, де хоч би одне із

не дорівнювало б нулю.

1. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

1. Основні означення та результати

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими:

(1)

Означення. Розв’язком системи (1) називається сукупність значень невідомих

що задовольняють усі рівняння системи (1).

Означення. Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.

Дві системи рівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожний розв’язок однієї системи є розв’язком іншої системи або якщо ці системи рівнянь несумісні.

У результаті еквівалентних перетворень системи рівнянь завжди дістаємо рівносильну систему рівнянь. До еквівалентних перетворень системи належать:

1) переставлення місцями рівнянь;

2) множення або ділення рівнянь на число, що не дорівнює нулю;

3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Будь-який метод розв’язування системи рівнянь (1) передбачає виконання еквівалентних її перетворень, завдяки яким вона зводиться до такого вигляду, що розв’язок уже легко знайти.

Запишемо вектори-стовпці

. (2)

Для того щоб система рівнянь (1) була сумісною, тобто мала принаймні один розв’язок, необхідно і достатньо, щоб вектор

був лінійною комбінацією векторів , тобто щоб ранг r системи векторів дорівнював рангу розширеної системи векторів .

Звідси дістаємо умову Кронекера-Капеллі сумісності системи рівнянь.

Для того щоб система (1) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг r матриці

(3)

дорівнював рангу розширеної матриці

.

Нехай система рівнянь (1) сумісна, тобто виконується рівність

.

Якщо,

, то всі рівняння системи (1) лінійно незалежні. У матриці А візьмемо мінор порядку , відмінний від нуля. Цей мінор називається базисним.

Очевидно, що вибір базисного мінора неоднозначний. Якщо

, то рівняння, коефіцієнти яких входять до базисного мінора, лінійно незалежні, причому решта рівнянь є лінійними комбінаціями лінійно незалежних рівнянь.

Якщо

, то всі шукані змінні визначаються єдиним чином. Якщо , то змінні, коефіцієнти при яких входять до базисного мінора, називаються базисними.

Решту змінних називають вільними. Значення таких змінних можна вибирати довільно. Якщо вільні змінні вибрано, то базисні змінні можна вибрати єдиним чином. Якщо вільні невідомі дорівнюють нулю, то відповідний розв’язок системи (1) називається базисним.

Розглянемо однорідну систему рівнянь, що відповідають системі (1):

(4)

Вона сумісна, бо завжди має нульовий розв’язок

. Якщо , то система (4) має єдиний нульовий розв’язок. Якщо , то система (4) має лінійно незалежних ненульових розв’язків: