Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (стр. 2 из 3)

. (5)

Будь-яка лінійна комбінація розв’язків

(6)

також є розв’язком системи рівнянь (4).

Якщо всі розв’язки (5) лінійно незалежні, тобто ранг матриці

дорівнює (

), то система розв’язків (5) називається фундаментальною.

Будь-який розв’язок системи рівнянь (4) можна подати у вигляді (6), тобто у вигляді лінійної комбінації розв’язків (5), які утворюють фундаментальну систему розв’язків.

При цьому розв’язок (6) системи рівнянь (4) називається загальним розв’язком однорідної системи (4). Загальний розв’язок системи (1) є сумою деякого частинного розв’язку цієї системи, наприклад базисного розв’язку, і загального розв’язку однорідної системи рівнянь (4).

Приклад. Розглянемо систему п’яти лінійних рівнянь з чотирма невідомими

(7)

Можна переконатися, що ранг матриці коефіцієнтів і ранг розширеної матриці дорівнюють r = 2. За базисний мінор візьмемо визначник

,

елементи якого входять до перших двох рівнянь і є коефіцієнтами при

. Отже, базисними невідомими є , вільними невідомими - .

Замість системи (7) можна розв’язати систему, утворену з двох перших рівнянь:

(8)

Візьмемо вільні невідомі

і , а далі знайдемо базисний розв’язок системи рівнянь (7): .

Вважаючи х3 і х4 довільними змінними, із системи рівнянь

знайдемо розв’язки

Нехай

, де С1, С2 - довільні сталі. Тоді загальний розв’язок

Запишемо однорідну систему рівнянь

(9)

Вона має лінійно незалежні розв’язки:

які утворюють фундаментальну систему розв’язків системи (5).

Отже, система рівнянь (7) має загальний розв’язок

де С1, С2 - довільні сталі.

Загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь подається не в одному й тому самому вигляді.

2. Метод Гауса

Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

(1)

до трикутного вигляду

(2)

Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт

. Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова .

За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:

Іноді вводять контрольний стовпець

, що дає змогу виявляти помилки. Поділивши перший рядок на а11, позначимо

.

Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д. Позначивши

,

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

Для невідомих

маємо систему рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на . Якщо коефіцієнт , то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова .

Позначивши

,

помножимо другий рядок послідовно на

і віднімемо від третього рядка; на і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:

Продовжуючи процес виключення невідомих, дістаємо нарешті таблицю:

Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи

. Запишемо відповідну систему рівнянь:

(3)

Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходять

і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають , і т.д.

Якщо система рівнянь з n невідомими має єдиний розв’язок, то ця система завжди може бути перетворена до трикутного вигляду.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

за методом Гауса.

Складемо таблицю

Перший рядок віднімемо від другого. Далі помножимо перший рядок на другий і віднімемо від третього рядка. Дістанемо таблицю

Помножимо другий рядок на третій і додамо до третього рядка:

Поділивши останнє рівняння на 14, дістанемо систему

Послідовно знайдемо:

. ·

У загальному випадку метод Гауса застосовується для дослідження та розв’язування системи рівнянь з n невідомими

(4)

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Скориставшись методом виключення Гауса і переставивши перші n стовпців, перетворимо таблицю до такого вигляду:

.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів

відмінний від нуля, то система рівнянь (4) несумісна і не має розв’язків. Якщо всі коефіцієнти , то система рівнянь (4) сумісна. У такому разі маємо r базисних невідомих, що відповідають першим r стовпцям, решта невідомих є вільними.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

(5)

Утворимо таблицю коефіцієнтів системи:

Помноживши перший рядок на 2, віднімемо його від другого рядка. Потім перший рядок віднімемо від третього й дістанемо таблицю: