Ai- коэффициенты уравнения, любые действительные числа, i = 1,n.
Случай комплексных коэффициентов уравнения в данной работе не рассматривается.
Поскольку Вычисления на персональном Компьютере обладают конечной точностью, целесообразно уравнение (1) нормировать по старшему коэффициенту An, чтобы не происходило переполнения разрядной сетки. Нормирующий коэффициент RCn = (ABS (An)) ** (1/n). Если n- нечётная величина, знак абсолютной величины обычно опускают. Вычисления на персональном Компьютере всегда ведутся с определённой степенью точности EPS, которая задает Критерий окончания Счета.
Критерий окончания Счета: Если алгебраическая функция, заданная уравнением (1), при вычисленном значении корня xi меньше величины ABS (EPS*An), то вычисления названного корня прекращают. Далее понижают порядок исходного уравнения до величины (n - 1), если корень xi- действительный, или до величины (n - 2), если xi принадлежит паре комплексно - сопряжённых корней. Вся процедура повторяется сначала для полученного уравнения более низкого порядка до тех пор, пока не будут найдены все корни исходного уравнения (1). Если возможности Компьютера не достаточны, следует понизить степень точности EPS (в ущерб точности вычисления корней) или приобрести более мощную Персоналку. (Персоналка - персональная вычислительная Машина для каждого Пользователя)
Очевидно, что чем мощнее Компьютер, тем больше возможностей для решения уравнений более высоких Степеней n.
ЛОГИКА РАССУЖДЕНИЙ.
В общем случае, корни алгебраического уравнения отличаются друг от друга по величине. Следовательно, ВСЕГДА можно выделить в Решении наибольший по модулю (доминирующий) и наименьший корни. (Уместно оговориться сразу, что наименьший по модулю корень будет доминирующим в уравнении, обратном данному).
Попробуем последовательно возводить корни в квадрат и сравнивать их по величине между собой. После нескольких таких операций легко убедиться, что все корни уравнения для квадратов относительно переменной xc = (x** (2**J)) - ничтожно малы, кроме доминирующего корня xc1.
ВСЕ коэффициенты уравнения, кроме первых двух, будут стремиться к нулю и, следовательно, ими можно пренебречь. Тогда корень xc1 может быть найден из квадратного уравнения, а корень исходного алгебраического уравнения определится выражением x1 = (xc1** (1/ (2**J))).
Зачастую, при обеспечении заданной степени точности EPS, раньше вычисляется доминирующий корень обратного уравнения, поэтому РЕКОМЕНДУЕТСЯ определять доминирующие корни как прямого, так и обратного, уравнений.
При этом удаётся минимизировать затраты машинного времени и, следовательно, добиться максимальной скорости вычислений.
Уравнение (1) является частным случаем другого алгебраического уравнения n- ой степени для переменной xc = (x** (2**J)), где J- шаг преобразования, J = 1,m, m и n- любые натуральные числа.
(xс**n) + B1* (xс** (n-1)) + B2* (xc** (n-2)) + … + B (n-1) *xc + Bn = 0, (2)
где
B1 = - ( (C1**2) - (2*C2)),
B2 = (C2**2) - (2*C1*C3) + (2*C4),
B3 = - ( (C3**2) - (2*C2*C4) + (2*C1*C5) - (2*C6)),
………………………………………………………
B (n-1) = ( (-1) ** (n-1)) * ( (C (n-1) **2) - (2*C (n-2) *Cn)),
Bn = ( (-1) **n) * (Cn**2).
Уравнение (2) может быть получено умножением исходного уравнения (1) на уравнение для корней, взятых с обратным знаком. Например, для случая n = 3это выглядит следующим образом:
( (x**3) + A1* (x**2) + A2*x + A3) * ( (x**3) - A1* (x**2) + A2*x - A3) = 0.
Тогда относительно переменной xc = (x**2) получают уравнение (2) при J = 1
(xc**3) - ( (A1**2) - (2*A2)) * (xc**2) + ( (A2**2) - (2*A1*A3)) *xc - (A3**2) = 0.
Не вызывает сомнений, что
J = 0, Bi = Ai, xc = x.
J = 1, Ci = Ai, xc = (x**2).
J = 2, Ci = Bi для J = 1, xc = (x**4).
………………………………………….
Пусть L = (2**J) - величина степени корня xc1 на J-ом шаге преобразования,
xc1 = (x1**L).
Как уже отмечалось выше, на определённом шаге преобразований Jвсе коэффициенты уравнения (2), кроме первых двух B1 и B2, становятся пренебрежительно малы и их можно отбросить. Тогда корень xc1 может быть найден из квадратного уравнения, получаемого путём отбрасывания ничтожно малых старших коэффициентов. (Не следует забывать, что исходное уравнение (1) уже нормировано по старшему коэффициенту An).
(xc1**2) + D1* (xc1) + D2 = 0, (3)
D1 = B1, D2 = B2 - для прямого уравнения,
D1 = (Bn-1) / Bn, D2 = (Bn-2) / Bn - для обратного уравнения.
Совершенно очевидно
xc1 = ( - D1/ 2) + ( ( ( - D1/2) **2) - D2) ** (1/ 2),
или
xc1 = ( - D1/ 2) - ( ( ( - D1/ 2) **2) - D2) ** (1/ 2), (4)
Корень исходного уравнения
x1 = (xc1** (1/L)). (5)
Если алгебраическая Функция при вычисленном значении корня x1 F (x1) не удовлетворяет Критерию окончания Счета, переходят к следующему шагу преобразования (J присваивают значение J + 1) до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений EPS.
Уместно отметить, что величина xc1 может быть как действительной, так и комплексной величиной. При вычислении корня x1 следует подвергать Проверке ВСЕ КОРНИ степени L из переменной xc1:
Если xc1 - комплексная величина (общий случай), тогда
PI = 3.141592653589793, I2 = 1, L
Mod xc1 = SQRT ( (Re xc1) **2) + ( (Im xc1) **2)),
Fi xc1 = ARCTAN (Im xc1, Re xc1),
Re x1 = ( (Mod xc1) ** (1/L)) *COS ( ( (Fi xc1) /L) + (2*PI/L) *I2),
Im x1 = ( (Mod xc1) ** (1/L)) *SIN ( ( (Fi xc1) /L) + (2*PI/L) *I2).
Теорема:
Для любого алгебраического уравнения при заданной степени точности EPS всегда существует такая величина J, при которой корень квадратного уравнения (3) совпадает с одним из корней исходного уравнения (1).
При выборе формулы расчёта следует помнить, что
Если I1 = 1 или I1 = 2, то вычисление xc1 осуществляется по формуле (3) для прямого уравнения (2).
Если I1 = 3 или I1 = 4, то вычисление xc1 происходит по формуле (3) для уравнения, обратного уравнению (2).
Теорема может быть доказана с помощью Метода Математической Индукции.
В заключение отметим, что в работе / 5/ коэффициенты квадратного уравнения (3) определены несколько иначе, однако корни исходного алгебраического уравнения (1) вычисляются с той же степенью точности EPS. Ввиду того, что коэффициенты Аi алгебраического уравнения (1) являются независимыми переменными, но возможны и ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, указать величину Jзаранее не представляется возможным. Программы, используемые для проверочных расчётов, составлены автором на алгоритмическом языке FORTRAN- 90 и доказали свою высокую Эффективность.
Проверка всегда позволяет избежать Ошибок.
ПРОВЕРКА.
Дано алгебраическое уравнение третьей степени
(x**3) - 11* (x**2) - 10*x + 200 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0.00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC3 = 5,8480.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.
I2 = 1
Порядковый номер преобразования J = 3
Корень x3 - действительный
x3 = 10,000.
Корни x1, x2 - действительные
x1 = 5,0000; x2 = - 4,0000.
Дано алгебраическое уравнение третьей степени
(x**3) - 25* (x**2) + 216*x - 580 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0.00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC3 = - 8,3396.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 4.
I2 = 5
Порядковый номер преобразования J= 3
Корень x3 - действительный
x3 = 5,0000.
Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые
Re x1 = 10,000; Im x1 = 4,0000;
Re x2 = 10,000; Im x2 = - 4,0000.
Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени
(x**4) + 6* (x**3) - 57* (x**2) - 110*x + 600 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 4,9492.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 2.
I2 = 5.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корень x4 - действительный
x4 = - 10,000.
Корень x3 - действительный
x3 = 5,0000.
Корни x1, x2 - действительные
x1 = 3,0000; x2 = - 4,0000.
Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени
(x**4) + 0* (x**3) + 67* (x**2) - 808*x + 1740 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 6,4586.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3, I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 3.
Корни x3, x4 - комплексно-сопряжённые
Rex3 = - 4,0000; Imx3 = 10,000;
Rex4 = - 4,0000; Imx4 = - 10,000;
Корни x1, x2 - действительные
x1 = 3,0000; x2 = 5,0000.
Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени
(x**4) + 4* (x**3) - 66* (x**2) + 76*x + 1360 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 6,0727.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.
I2 = 1
Порядковый номер преобразования J = 0
Корни x3, x4 - действительные
x3 = - 10.000; x4 = - 4.0000.
Корни x1, x2 - комплексно - сопряжённые
Rex1 = 5,0000; Imx1 = 3,0000;
Re x2 = 5,0000; Im x2 = - 3,0000.
Дано алгебраическое уравнение четвёртой степени
(x**4) - 2* (x**3) + 70* (x**2) - 888*x + 3944 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC4 = 7,9247.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.
I2 = 15.
Порядковый номер преобразования J = 4.
Корни x3, x4 - комплексно - сопряжённые
Rex3 = 5,0000; Imx3 = 3,0000;
Rex4 = 5,0000; Imx4 = - 3,0000;
Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые
Re x1 = - 4,0000; Im x1 = 10,000;
Re x2 = - 4,0000; Im x2 = - 10,000.
Дано алгебраическое уравнение пятой степени
(x**5) + 18* (x**4) - 96* (x**3) - 1198* (x**2) - 1425*x + 2700 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = 4,8559.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.
I2 = 1.
Порядковый номер преобразования J = 2.
Корень x5 - действительный
x5 = 1,0000.
Корни x3, x4 - действительные
x3 = 9,0000; x4 = - 20,000;
Корни x1, x2 - действительные
x1 = - 3,0000; x2 = - 5,0000.
Дано алгебраическое уравнение пятой степени
(x**5) + 24* (x**4) + 19* (x**3) - 1646* (x**2) - 9222*x - 14040 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = - 6,7526.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 1.
I2 = 5
Порядковый номер преобразования J = 3
Корень x5 - действительный
x5 = - 20,000.
Корни x3, x4 - действительные
x3 = - 3,0000; x4 = 9,0000;
Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые
Re x1 = - 5,0000; Im x1 = 1,0000;
Re x2 = - 5,0000; Im x2 = - 1,0000.
Дано алгебраическое уравнение пятой степени
(x**5) + 30* (x**4) + 309* (x**3) + 2510* (x**2) + 6150*x - 9000 = 0.
Решение:
Степень точности EPS = 0,00001.
Нормирующий коэффициент для исходного уравнения RC5 = - 6,1780.
Коэффициент выбора формулы расчета I1 = 3.
I2 = 2
Порядковый номер преобразования J = 1
Корень x5 - действительный
x5 = 1,0000;
Корни x3, x4 - действительные
x3 = - 5,0000; x4 = - 20,000;
Корни x1, x2 - комплексно-сопряжённые
Re x1 = - 3,0000; Im x1 = 9,0000;
Re x2 = - 3,0000; Im x2 = - 9,0000.