Редуцированные полукольца (стр. 3 из 4)

Получили

= (a, b) Þ по определению 12 S- строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через SpecS множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим

D(A) = {PÎSpec S: A

P}.

МножествоD({0}) = {PÎSpec S: {0}

P} = Æ, аSpec S = D(S).

D(A) ÇD(B) = { PÎSpecS: A

PÙB P} = { PÎSpecS : AB P} = D(AB).

SpecS является топологическим пространством с семейством открытых множеств видаD(A).

Лемма 4.Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P Î Spec S: Ann A Í P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если PÎD(A), т.е. A

P, то AnnAÍP, т.е. PÎY. Откуда

ÍY, ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть PÏ

. Тогда P лежит в некоторой окрестности D(B), где B- некоторый идеал в S, не пересекающийся с .

D(A) ÇD(B) = Æ, тогдаABÍrad S = 0, т.е. BÍAnn A.

Тогда P не содержит AnnA, иначе Pсодержал бы B . Следовательно, PÏY. Получили YÍ

.

Лемма 5.Пусть P- первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = OpÛP- минимальный первичный идеал.

Доказательство: Пусть P = Op , P¢ÎSpecS и P¢ÍP. Тогда OpÍOP¢ÍP¢. Поэтому P¢= P, и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует aÎP \ Op. Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a

}, 1Î{a } и для "a ,a Î{ a } $с = 1ÎS : a сa = a Î{ a }),не пересекающуюся с Op. Действительно, если a ÎOp , nÎN, то a b = 0 для некоторого bÎS \ P. Но тогда (ab) = 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то естьaÎOp;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P¢ Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в PÇP¢,что противоречит минимальности P. Значит, PÍOp. Также OpÍP (Лемма 2). Тогда P = Op.

Лемма 6.Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a, bÎS \ P, то asbÏP для подходящего sÎS, откуда asb¹ 0 и ab¹ 0.

Определение 14.S – слабориккартовоÛ"a ÎS"b ÎAnn aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N– полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0ÎN. Тогда AnnaS = N. В результате получим, что AnnaS + Annb = N. Теперь возьмём aÎN\ {0}. Тогда AnnaS = {0}, а Annb= N. В результате получим, что AnnaS + Annb = {0} + N = N . Таким образом, N– слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема .Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ

=Æ);

3. все идеалы Op, PÎSpecS, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4.

все идеалы OM, MÎMaxS, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и PÍMÞOp=OM для "PÎSpecS и MÎMaxS;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S- редуцированное полукольцо. Такое S- симметрическое (по предложению 1), поэтому Sобладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

1)Þ3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. ПустьPÎSpec SиabÎOpприa, bÎS.

Тогда$сÎS \P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для" s ÎS.

Возьмём s = 1 Þabc = 0 ÞbcÎAnnaS (по определению AnnaS). НоAnn aSÍAnn a . ТогдаbcÎAnn a. Поусловию 1) S-слабориккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = SдляaÎS, bcÎAnn aS.

$eÎAnn aS, f ÎAnn bc: e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что aÏOpÞAnnaSÍP (по определению Ann aS) Þe ÎP.

Тогда fÏP, т.к. в противном случае 1ÎP. Но P- первичный идеал ÞP- собственный Þ 1ÏP.

fÎAnn bcÞbcf = 0. Т.к. S- симметрическое ÞbScf = 0. Но cfÏP (т.к. cÏP, fÏP , а P- первичный идеал) ÞbÎOp.

Таким образом, получили, что все идеалы Op, PÎSpecS, вполне первичны.

3)Þ4). По условию 3 все идеалыOp , где PÎSpecS, первичны. Но MÎMaxS– является первичным идеалом (предложение 4), т.е. MÎSpecS. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM, где MÎSpecSи MÎMaxS, первичны.

Пусть PÍM. Тогда OMÍOp(лемма 2).

Если aÎOp, т.е. ab = 0 при некотором bÎS \ P и s = 1ÎS, то aÎOM, ибо bÏOMÍP, а ab = 0 ÎOMи OM псевдопрост (доказано выше). Значит и OpÍOM . Тогда Op = OM.

4)Þ5). Пусть P – первичный идеал из S иPÍM. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как PÍMÞOp= OM. Также OpÍP (Лемма 2). Докажем, что OM– минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q- минимальный первичный идеал полукольца S. Но QÍMÞOMÍOQÍQ. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал ÞOQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM=Q.