Редуцированные полукольца (стр. 2 из 4)

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m-системой, если 0 ÏT, 1 ÎT и для любых a, bÎT найдётся такой sÎS, что asbÎT.

Пример. Рассмотрим множество T = {a

,a, a

, … , a

}, где nÎNи a¹0. Оно является подмножеством полукольца R

неотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 ÏT, 1ÎTи для "a ,a ÎT$с = 1ÎS : a сa = a ÎT. Таким образом, Tявляется m-системой.

Легко увидеть, что если P– первичный идеал, то S \ Pявляется m-системой. И хотя дополнение до m-системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3.Пусть T-m-система, а J- произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть PÊJ, PÇT = Æ и P- максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSbÍP для некоторых a, bÏP. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть mÎ (P+SaS) ÇT, rÎ (P+SbS) ÇT и msrÎT для некоторого sÎS. Но, с другой стороны,

msrÎ (P+SaS) × (P+SbS) ÍP+SaSbSÍP.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSbÎP неверно, и P- первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если MÍA влечёт M = Aили A= S для каждого идеала A.

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеалJ и не пересекающуюся с ним m-систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого aÎSмножество

AnnaS = {tÎS: ("sÎS) ast=0} называется аннулятором элемента a.

AnnaS является двусторонним идеалом полукольца S.

Anna ={sÎS: as = 0} -правыйидеалиAnnaSÍAnn a.

Определение 10. Для любого идеала P множество Op= {sÎS: ($tÏP) sSt = 0} = {sÎS: AnnsS

P} называется O-компонентой идеала P.

Лемма 1.Opявляется идеалом для любого первичного идеала P.

Доказательство: Пусть a, bÎOp. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, uÏP. В силу первичности PtsuÏP для подходящего sÎS. Для любого vÎS

(a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.

Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтомуa + b, sa,asÎOp, иOp-идеал.

Лемма 2.Пусть PÍM- первичные идеалы полукольца.

Тогда OMÍOpÍ P.

Доказательство: Пусть aÎOM, тогда aSt = 0 для некоторого tÏM. Поскольку tÏP, то aÎOp, и значит, OMÍOp. Для любого sÎS 0 = astÎP. Поскольку P первичен, то aÎP или tÎP, отсюда aÎP, и следовательно, OpÍP.

Лемма 3.Для произвольных первичных идеалов P и P¢ симметрического полукольца S верна импликация:

PÇP¢ не содержит первичных идеалов ÞOp

P¢.

Доказательство: Предположим, что OpÍP¢. Полагая A= S \ P и B= S \ P¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из AÈB. Покажем, что ABÇOp = Æ. В самом деле, если sÎABÇOp, то sb = 0 для некоторогоbÎA, т.е. {0} ÎAB. Поскольку sявляется произведением элементов из AÈB, то в силу первичности идеалов Pи P¢ и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих uÎB, vÎA. Откуда uÎOp

P¢- противоречие.

Таким образом, AB является m-системой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий Op. А так как AÈBÍAB, то PÇP¢ÊQ. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op

P¢.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P¢ в симметрическом полукольце, еслиOpÍP¢, то пересечение Pи P¢ содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a, b)

= {sÎS: "xÎS (axs = bxs)} - идеал полукольца S для "a, bÎS.Очевидно, (a, 0) = AnnaS.

Для произвольного идеала A обозначим

- пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, bÎSвыполняется

= (a, b) .

Определение 12. Пересечение radS всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5.Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда

= AnnaS для всех aÎS.

Доказательство: При a = 1 radS =

= AnnS = 0, т.е. S- полупервично.

Пусть S- полупервичное полукольцо и bÎ

. Для каждого первичного идеала P, либо P содержит AnnaS, либо AnnaS не содержится в P. В первом случае bÎP, во втором случае aÎOpÍP. Тогда aSb radS = 0, откуда bÎAnnaS. Следовательно, ÍAnnaS. Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2.Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть cÏ(a, b)

для a, bÎS. Тогда ac¹bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc¹acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac ¹bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac ¹bc , и следовательно, ac ¹bc . По индукции ac ¹bc . Значит, T = {1, c, c ,…} -m-система, не пересекающаяся с (a, b) , и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b) , при этом cÎS \ P. Значит, cÏ , откуда Í (a, b) . Другое включение справедливо всегда.