Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши (стр. 4 из 7)
План вывода конкретного метода этого порядка можно выполнить при условии, что не возникает несовместных систем.
Шаг 1. Выбираем значения
, 
и полагаем 
.Шаг 2. Из (2.6.2), (2.6.3), (2.6.4) и (2.6.6) находим
.Шаг 3. Из уравнения
(это уравнение есть разность уравнений (2.6.5) и (2.6.7)) находим 
.Шаг 4. Из (2.6.10) находим
.Шаг 5. Вычисляем
.В случае
шаг 2 приводит к выбору 
и 
при условии, что 
, 
. В частности, имеем известный метод:  |  |
 |
1.7 Оценка погрешности и сходимость методов Рунге-Кутты
Со времен работы Лагранжа и особенно Коши всякий установленный численно результат принято сопровождать надежной оценкой погрешности. Лагранж дал известные оценки погрешности многочленов Тейлора, а Коши вывел оценки для погрешности метода ломаных Эйлера. Через несколько лет после первых успехов методов Рунге-Кутты также пришел к заключению, что для этих методов нужны оценки погрешностей[2].
1.7.1 Строгие оценки погрешности
Способ, которым Рунге получил оценку погрешности, делаемой на одном шаге («локальной погрешности»), может быть описан следующим образом. Для метода порядка
рассмотрим локальную погрешность 
(2.7.1)и воспользуемся ее тейлоровским разложением:
, (2.7.2)где
и 
. Явное вычисление 
дает выражение вида 
, (2.7.3)где
и 
содержат частные производные 
до порядков 
и 
соответственно. Далее поскольку 
, имеем 
. Таким образом, если ограничены все частные производные 
до порядка включительно, имеем 
и 
. Следовательно, существует постоянная 
такая, что 
и 
. (2.7.4)Бибербах использовал несколько иной подход. Запишем
(2.7.5)и воспользуемся тейлоровскими разложениями
(2.7.6)Для векторных функций эти формулы справедливы покомпонентно (возможно, с различным
). В силу условий порядка первые члены разложения (2.6.5) по степеням 
обращаются в нуль. Таким образом, справедлива следующая теорема.Теорема.
Если метод Рунге-Кутты (2.3.1) имеет порядок
и если все частные производные 
до порядка включительно существуют и непрерывны, то локальная погрешность метода (2.3.1) допускает следующую строгую оценку: 
, (2.7.7)или
. (2.7.8)Продемонстрируем этот результат, применяя к скалярному дифференциальному уравнению первый метод Рунге-Кутты (2.2.4), который имеет порядок
. Дифференцируя (2.1.1), получим 
. (2.7.9)Вторая производная величины
имеет вид 
Если условия теоремы выполнены, то легко видеть, что выражения (2.7.9) и (2.7.10) ограничены постоянной, которая не зависит от
, что и дает оценку (2.7.8).1.7.2 Главный член погрешности
Для методов высших порядков строгие оценки погрешностей, подобные (2.7.7), становятся очень непрактичными. Поэтому гораздо более реалистично рассматривать первый ненулевой член в тейлоровским разложении погрешности.
Теорема.
Если метод Рунге-Кутты имеет порядок
и если непрерывно дифференцируема 
раз, то для главного члена погрешности имеем: 
. (2.7.11) 
(2.7.12)1.7.3 Оценка глобальной погрешности
Глобальной (накопленной) погрешностью[3] называется погрешность численного решения после выполнения нескольких шагов. Пусть мы имеем некоторый одношаговый метод, с помощью которого при заданных начальных данных
и длине шага 
мы определяем численное решение 
, аппроксимирующее 
. Воспользуемся обозначениями Хенричи для этого процесса: 
, (2.7.13)и назовем
функцией приращения для данного метода.
Оценивание глобальной погрешности методами a) и b)
Тогда численное решение в точке
получается с помощью пошаговой процедуры, (2.7.14)
и наша задача состоит в оценке глобальной погрешности
(2.7.15)Эта оценка находится простым способом: локальные погрешности переносятся в конечную точку и затем складываются. Этот «перенос погрешностей» можно выполнить двумя разными способами:
a) перенося погрешность вдоль кривых точных решений; этот способ может дать хорошие результаты, если известны хорошие оценки распространения погрешности для точных решений.
b) перенося погрешность
-го шага посредством выполнения 
шагов численного метода; этот способ использовали в своих доказательствах Коши (1824) и Рунге (1905), он легко обобщается на многошаговые методы.В обоих случаях оценим сначала локальные погрешности:
. (2.7.16)