Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши (стр. 2 из 7)

Рунге и Хойн построили новые методы, включив в указанные формулы один или два добавочных шага по Эйлеру. Но именно Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге-Кутты.

Пусть

– целое положительное число (число стадий, этапов) и – вещественные коэффициенты. Тогда метод

(2.3.1)

называется

-стадийным явным методом Рунге-Кутты для исходной задачи Коши (2.1.1)

Обычно коэффициенты

удовлетворяют условиям

. (2.3.2)

Эти условия были приняты Куттом без каких-либо комментариев. Смысл их заключается в том, что все точки, в которых вычисляется

, являются приближениями первого порядка к решению. Эти условия сильно упрощают вывод условий, определяющих порядок аппроксимации для методов высокого порядка. Однако для методов низких порядков эти предположения необходимыми не являются.

Метод Рунге-Кутты имеет порядок

, если для достаточно гладких задач (2.1.1) справедливо неравенство

, (2.3.3)

то есть ряды Тейлора для точного решения

и для совпадают до члена включительно.

После статьи Бутчера вошло в обычай символически представлять метод (2.3.1) по средствам следующей таблицы:

1.4 Обсуждение методов порядка 4

Подойдем теперь вплотную к определению 4-стадийных методов Рунге-Кутты (2.3.1) с таким расчетом, чтобы они имели порядок 4. Для этого необходимо вычислить производные порядков 1, 2, 3 и 4 от

при и сравнить их с производными точного решения. Теоретически при известных правилах дифференциального исчисления это совершенно тривиальная задача. Однако с использованием (2.3.2) получаются следующие условия:

Эти вычисления очень утомительны и емки. Их громоздкость очень быстро растет для более высоких порядков.

Лемма 1.

Если

(2.4.2)

то уравнения d), g) и h) являются следствием остальных.

Доказательство.

Покажем это для g). C помощью уравнений c) и e) получим:

Для уравнений d) и h) процедура аналогична.

Покажем, что в нашем случае условие

является и необходимым.

Лемма 2.

При

(2.4.2) следует из уравнений (2.4.1) и уравнений (2.3.2).

Для доказательства потребуется следующая лемма 3.

Лемма 3.

Пусть

и суть 3x3-матрицы, такие что

, (2.4.3)

тогда либо

, либо , где .

Доказательство.

Если

, то из следует . Если же , то существует вектор , такой, что , и поэтому . Но тогда из (2.4.3) следует, что должен быть пропорционален вектору .

Докажем теперь предыдущую лемму. Введем величины

для . Итак, надо доказать, что . Введем теперь матрицы

(2.4.4)

Перемножение этих матриц с использованием условий (2.4.1) дает

, (2.4.5)

причем

Далее последний столбец

не может быть нулевым, так как из того, что , следует

в силу условия h). Таким образом, из последней леммы следует, что

. Последнее тождество вытекает из равенства , которое является следствием условий a) и b).

Теорема.

Если выполнены предположения

, то уравнения (2.4.1) эквивалентны следующим:

(2.4.6)

Доказательство.

Из j) и h) следует, что

. (2.4.7)

Отсюда, в частности, вытекает, что в силу k)

.

Решение уравнений (2.4.6). Уравнения a)-e) и k) выражают тот факт, что коэффициенты

и являются весами и узлами квадратурной формулы четвертого порядка при и . В силу (2.4.7) возможны следующие четыре случая:

1)

. (2.4.8)

Тогда уравнения a)-e) образуют невырожденную линейную систему для определения

. Эта система имеет решение:

Остальные три случая с двойными узлами основаны на правиле Симпсона:

2)

;

3)

;

4)

.

После того, как выбраны

и , получаем из уравнения j), и тогда два уравнения f) и i) образуют линейную систему для определения и .

Определитель этой системы

,

согласно (2.4.7) не равен нулю. Наконец, из того, что

находим , и .

Особенно популярными стали два варианта, которые выбрал Кутта в 1901 году. Это случай 3) при

и случай 1) при . Оба метода обобщают классические квадратурные формулы, сохраняя их порядок. Первый из них более популярен, однако второй более точен.