Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях (стр. 15 из 16)

Таблица 2.4

Виды сырья	Запасы сырья	Виды продукции
Доход

В этой экономической ситуации

означает количество единиц сырья вида , необходимое для изготовления продукции вида . В последней строке таблицы указан доход, получаемый предприятием от реализации одной единицы каждого вида продукции.

Нужно определить такой план выпуска продукции видов

и , при котором доход предприятия от реализации всей продукции оказался бы максимальным.

Математическую форму поставленной задачи изучим на следующем числовом примере (см. таблицу 2.5).

Таблица 2.5

Виды сырья	Запасы сырья	Виды продукции
	19	2	3
	13	2	1
	15	0	3
	18	3	0
Доход		7	5

Допустим, что предприятие выпускает

единиц продукции вида и единиц продукции вида . Для этого потребуется единиц сырья (на основании таблицы 2.5). Так как в наличии имеется всего 19 единиц сырья , то должно выполняться неравенство . Неравенство, а не точное равенство появляется в связи с тем, что максимальный доход может быть достигнут предприятием и в том случае, когда запасы сырья вида используются не полностью.

Аналогичные рассуждения, проведённые для остальных видов сырья, позволяют записать следующие неравенства:

(сырьё )

(сырьё )

(сырьё ).

При этих условиях доход

, получаемый предприятием, составит .

Таким образом, математически рассматриваемую экономическую ситуацию можно сформулировать так.

Дана система

четырёх линейных неравенств и линейная целевая функция

.

Требуется среди неотрицательных решений системы (4) выбрать такое, при котором целевая функция

принимает наибольшее значение (максимизировать).

Рассмотрим на примере ещё несколько игр.

Игра Морро. Игроки показывают одновременно 1 или 2 пальца и в тоже время называют число. Если число, названное одним игроком, совпадает с общим числом пальцев, то игрок получит от своего противника выигрыш, равный этому числу. Если оба угадают верно, то чистый платёж будет равен нулю.

	0	2	-3	0
	-2	0	0	3
	3	0	0	-4
	0	-3	4	0

Оборона города («Игра полковника Блотто»)

Полковник Блотто имеет mполков, а его противник – nполков. Противник защищает 2 позиции. Позиция будет защищена полковником, если на ней наступающие полки окажутся в численном превосходстве. Противоборствующим сторонам тре6уется распределить полки между двумя позициями. Если игрок 1 (полковник) имеет на позиции больше полков, то выигрыш равен числу полков противника плюс один (занимаемая позиция равносильна захвату одного полка). Если у противника (игрока 2) больше полков на позиции, то игрок 1 таким образом теряет свои полки на этой позиции и ещё единицу. Если обе стороны имеют одинаковое количество полков на позиции, то имеет место ничья. Посмотрим на стратегии игроков.

Игрок 1 имеет следующие стратегии:

- послать все полки на первую позицию

- послать полков на первую позицию, а полков – на вторую позицию и т.д.

- послать все полки на вторую позицию

Игрок 2 имеет такие стратегии:

- послать все полки на первую позицию

- послать полков на первую позицию, а полков – на вторую позицию и т.д.

- послать все полки на вторую позицию

Пусть m=4, n=3. Тогда рассмотрев всевозможные ситуации, получим матрицу выигрышей, для этой игры

Игрок 1Игрок 2
	4	2	1	0
	1	3	0	-1
	-2	2	2	-2
	-1	0	3	1
	0	1	2	4

Основная задача линейного программирования.