Математичний більярд (стр. 4 из 6)

Більярд в двогранному куті. Також просто виходить відповідь на питання про число віддзеркалень променя світла в дзеркалі, що має форму двогранного кута в просторі (мал. а). Величину його плоского кута позначимо α. Зробивши декілька віддзеркалень відносно граней цього кута, отримаємо «книжку», «листи» якої перетинає випрямлена траєкторія (мал. б). Зрозуміло, що число цих «листів» обчислюється по тій же формулі N_α = — [—π/α], оскільки проекція більярдної траєкторії γ на площину δ, перпендикулярну «корінцю» книжки (тобто загальному ребру всіх «листів»), дає знову більярдну траєкторію в плоскому куті величиною α.

Більярд в багатогранному кутку. Питання, поставлене в вищє, можна поставити для довільного багатогранного кута в просторі. Вже в тригранному кутку відповідь на нього стає досить складною. Вперше у всій повноті —"для довільного числа граней кута і в просторі довільної розмірності — цю задачу вирішив в 1978 р. Я.Р. Синай. Він довів, що існує рівномірна оцінка числа ударів частки з гранями кута, тобто існує таке число N = N(Q), залежне тільки від «геометрії» кута Q (від кутів між всілякимигранями різних розмірностей), що частка зможе віддзеркалитись в куті не більш N раз від його граней незалежно від початковогоруху, після чого рухатиметься рівномірно і прямолінійно. Через десять років було знайдено інше рішення.

Основні методи побудов траєкторій в трикутниках

Мінімізація периметра

Якщо межа більярдного столу має точки зламу, то метод Біркгофа перестає «працювати» — вершини вписаного багатокутника найбільшого периметра можуть потрапити в кутові точки межі. Наприклад серед трикутників, вписаних в даний трикутник АВС, найбільший периметр має сам ΔАВС! Як же шукати періодичні більярдні траєкторії в трикутнику?

Для гострокутного трикутника вихід полягає в тому, щоб замінити максимальний периметр на мінімалъний. Впишемо в даний трикутник АВС трикутник ХYZ якнайменшого периметра з вершинами на сторонах АВ,BCі СА.Cтверджуємо, що ХУZ— більярдна траєкторія.

Задача. Довести, що трикутник, вершини якого — підстави висот даного трикутника АВС, є більярдною траєкторією в ΔАВС.

Задача показує, як побудувати триланкову більярдну траєкторію в гострокутному трикутнику.

Ідея розглядати вписаний трикутник якнайменшого периметра застосовна і до фігур, обмежених декількома гладкими кривими. Нажаль, цей спосіб не спрацьовує для тупокутних трикутників — для них вписаний трикутник якнайменшого периметра вироджується у висоту, опущену з вершини тупого кута. Більш того, більярд в тупокутному трикутнику не має триланкових періодичних траєкторій. Проте це не означає, що ідея мінімізації периметра даремна для побудови періодичних більярдних траєкторій в тупокутних трикутниках; її треба лише з'єднати з методом випрямляння.

Механічна інтерпретація:

Надінемо на кожну із сторін гострокутного трикутника АВС по малому колечку і пропустимо через них натягнуту резиночкуХУZ(див. мал. Резиночка прагне стиснутися, тому колечки займуть положення у вершинах вписаного в АВС трикутника ХУZякнайменшого периметра. Розглянемо колечко на стороні АВ. Оскільки воно не рухається уздовж сторони трикутника, рівнодіюча сил натягнень Т1 і Т2 перпендикулярна цій стороні. Крім того, вектори Т2 і Т1 мають однакову довжину, оскільки натягнення уздовж резинки постійно. Отже, вектори Т1 і Т2 утворюють взаємно доповнюючі кути з відрізком АВ. Значить, ХYZ— більярдна траєкторія. Отже, ми довели, що вписаний трикутник якнайменшого периметра є періодичною траєкторією в ΔАВС є траєкторією.

З траєкторією XYZможна зв'язати сімейство «паралельних періодичних траєкторій», зображене на малюнку.

Якщо трикутник АВС вважати плоскою пластинкою, то кожну траєкторію побудованого пучка можна уявляти собі як пружну замкнуту нитку, обвиваючу цю пластинку і поперемінно перехідну з однієї неї сторони на іншу 6 разів.

Але якщо ΔАВС — тупокутний, то ця конструкція періодичних траєкторій не спрацьовує — пружна нитка зіскочить з пластинки через вершину тупого кута. Отже знайти періодичні більярдні траєкторії в тупокутних трикутниках досить важко.

Дві конструкції для тупокутних трикутників:

Якщо намотати нитку на пластинку способом, зображеним на малюнку а), то зіскакування не відбудеться. Уважний розгляд цього малюнка підказує ідею, як будувати складніші періодичні траєкторії для спеціальних класів тупокутних трикутників.

Стійкі траєкторії

Тільки що побудовані періодичні траєкторії мають один істотний недолік — при скільки завгодно малій зміні кутів трикутника вони руйнуються (в тому сенсі, що поблизу початкової траєкторії немає періодичних траєкторій в деформованому трикутнику). Зараз ми побудуємо періодичну траєкторію в тупокутному трикутнику, вільну від цього дефекту.

Хай гострі кути α і β тупокутного трикутника АВС зв'язані нерівностями

(π-β)/2<kα <π/2≤(k+1)α

(π- α)/2<Lβ <π/2≤( L +1)β, де k і L – деякі натуральні числа. Зробимо k-1дзеркальних відбиттів трикутника АВС навколо вершини А проти годинникової стрілки і L-1 відбиттів навколо вершини С за годинниковою стрілкою. Крайні промені ANsCN утворюють з основою АС гострі кути kα і Lβ. В гострокутному трикутнику АNC існує три ланкова періодична траєкторія, що сполучає основи його висот. Тоді при накладанні «гармошкою» на трикутник АВС коридору, складеного з ΔАВС і k +L-2 віддзеркалень трикутників, наша траєкторія перейде в 2 (k +L)-1-ланкову періодичну траєкторію в ΔАВС. Ця траєкторія – стійка.

Теоретичні відомості про більярди в многокутниках та багатогранниках

Задачі на побудову траєкторій в многокутниках зводимо до побудови обмоток.

Перш за все опишемо ще один подход до більярдів, що дає можливість будувати пучки - з перескакуванням. Хай Q — фіксований многокутник. Виберемо на площині напрям відліку кутів—скажімо, задаватимемо напрям v на Q кутом φ, відлічуваним від напряму сторони АВ многокутника Qпроти годинникової стрілки до напряму v. Кут φ вимірятимемо в радіанах, причому так, що 0<φ<2п . Для кожного числа φ між 0 і 2π готуємо свій екземпляр багатокутника Q, на якому намалюємо пучок паралельних траєкторій з напрямом φ. Цей багатокутник Q з намальованими на ньому траєкторіями позначимо Q(φ) таким чином, ми «запасли» нескінченний набір екземплярів Q(φ) многокутника Q. Наклавши їх один на одного в порядку зростання. ф, отримаємо призму висоти 2я, в підставі якій лежить багатокутник Q.

Розглянемо кулю, що «скаче» з одногомногокутника на інші многокутники за наступним правилом. Якщо в початковий момент часу куля знаходилася на багатокутнику Q(φ₁), то він рухається по своїй траєкторії до тих пір, поки не потрапить на одну із сторін, скажемо CD. Якби куля була більярдна, то він відскочив би від сторони CD за законом пружного віддзеркалення і став би рухатися під новим напрямом φ₂. Наша ж кулька, що скаче, перескакує з боку CDмногокутникаQ(φ₁) в ту ж точку тієї ж сторони CD іншого многокутника Q(φ₂) , де φ₂ було визначене вище із закону пружного віддзеркалення, і рухається по намальованій на Q(φ₂) траєкторії, Дійшовши до сторони KL багатокутника Q(φ₂) , кулька перескакує в ту ж крапку на тій же стороні KL наступного многокутника Q(φ₃), де φ₃ — напрям, під яким рухається більярдний шар після зіткнення із стороною КL, налетівши на неї під напрямом φ₂. І так далі як зображено на малюнку.

Якщо накласти всі ці багатокутники один на одного, то відрізки траєкторії, що скаче, дадуть траєкторію більярда в багатокутнику Q.

Многокутники Q, всі кути яких вимірні з π називаються раціональними.

Більярд в будь-якому раціональному многокутнику зводиться до обмоток кренделя – сфери з ручками, який отримується в результаті вищеописаних склейок. На кренделі бувають неперіодичні траєкторії і заповнюється всюди щільно лише частина кренделя. (Доведення основане на теоремі Якобі).

Доведена теорема, що в будь-якому раціональному многокутнику існують періодичні траєкторії.

Тепер перейдемо до наступного розділу курсової роботи, де продемонстровано, як викладені теоретичні відомості застосовуються на практиці.

Практичне застосування теорії математичних більярдів

Практичні задачі, що розв’язуються застосуванням правил побудови більярдних траєкторій

Ось деякі олімпіадні задачі, що дуже витонченорозв’язуються за допомогою «більярдів». Мова йде про «переливання», які, здавалось би, не мають нічого спільного з більярдами.

Є два сосуди ємкістю 7 і 11 літрів і велика бочка, що наповнена водою. Як за допомогою цих двох сосудів відміряти рівно два літри? На сосудах не можна робити засічок, не можна нахиляти, щоб відміряти долі літра.

Запропонована задача вирішується або алгебраїчним методом, або методом спроб та помилок.

Цю задачу можна з легкістю розв’язати, викресливши більярдну траєкторію кулі, що відбивається від бортів ромбічного столу. Межі таких столів зручніше за все малювати на папері, на якому нанесена гратка з однакових рівносторонніх трикутників. В наведеній задачі сторони столу мають бути завдовжки 7 і 11 одиниць. По горизонталі відкладено кількість води в 11-літровому сосуді в будь-який момент часу, а по вертикалі – та ж величина для 7-літрового сосуда.