Математичний більярд (стр. 2 из 6)
Для нас важливо, що у всіх випадках є величина, яка зберігається при русі частки. Ця величина — кут падіння. Така величина називається інваріантом, а у фізиці — частіше першим інтегралом.
· Рівність всіх траєкторій (з рівності кутів)
· Середини всіх ланок траєкторії віддалені від центра кола на однакову відстань.
Будь-яка більярдна траєкторія в колі ніколи не заходить всередину деякого концентричного кола, границі якого дотикаються всі її ланки, тобто це значить, що більярд в колі не ергодичний.
Більярдна траєкторія в колі не всюди щільна. Вид більярдної траєкторії в колі повністю визначається числом α, а саме
Якщо число α таке, що α/π є раціональним числом (тобто дорівнює деякому дробу m/n з цілими m і n), то більярдна траєкторія періодична
Якщо α/π ірраціональне, то відповідаюча куту α траєкторія неперіодична.
Доведення
Α =m/n*2π , m,n – цілі
Nα = 2πm, при повороті на кут nα кожна точка Г переходить в себе.
P0P1P2P3 (вершини більярдної траєкторії: Pn=P0; Pn+1 = P1 ; Pn+2 = P2…)
Тобто вершини, починаючи з n-ої повторюються. (що і свідчить про періодичність більярдних траєкторій)
Якщо m/n нескоро чувана, то траєкторія складається з nланок. При m=1 – це буде правильний n-кутник, при m>=2 траєкторія представляє собою правильну самоперетинаючуюся замкнену (зірчасту) ламану! Більярдний шар після nвіддзеркалень від борта Г опиняється в початковій точці P0 (зробив m обертів навколо центру О).
Уявімо, що більярдна траєкторія періодична/, тоді α і π такі, що α/π – раціональні, а це протирічить умові, що α/π– ірраціональне. Теорему доведено.
Теорема Якобі. Нехай α – невимірне з π (α/π - ірраціональне), {P0,P1,P2,…}={ Pk} – нескінченна послідовність точок послідовності Pk+1 отримується з попередньої точки Pkповоротом навколо центра на α радіан. Тоді для будь-якої дуги Δ кола Г хоча б одна точка послідовності { Pk} лежить на цій дузі.
Теорема Якобі стверджує, що якщо коло провертати на ірраціональний (в градусах) кут р, то образи кожної точка а, а+р, а+2р ... (в кутових координатах, узятих по модулю 360°) заповнять щільно все коло.
Неперіодичний рух може виявитись «майже періодичним», або квазіперіодичним. Квазіперіодичність означає, що хоч його траєкторія і не замкнена, але через деякий час (через квазіперіод) вона буде близько до попереднього відрізку траєкторії. Характерні квазіперіодичні траєкторії для кола показано на малюнку.
Виявляється, для більярда в колі неперіодична траєкторія має бути квазіперіодичною. Вказані неперіодичні траєкторії всюди щільно заповнюють відповідну область. Якщо вважати, що більярдний шар «чорнильний» і залишає після себе слід, то він з часом обов’язково замалює всю область цілком. Зрозуміло, що періодична траєкторія властивості всюди щільної мати не може – вона може заповнювати область «дуже щільно», але не всюди щільно. Довільна неперіодична траєкторія більярда в колі та еліпсі не є всюди щільною.
Більярд в кільці. Ще одним прикладом досить правильної області з гладкою криволінійною межою служить кільце, тобто область, укладена між двома концентричними колами. В кільці бувають траєкторії двох типів:
а) що відображаються тільки від зовнішнього круга — ці траєкторії зберігають кут падіння, як і в крузі (вони не «відчувають» присутності внутрішнього круга);
б) що відображаються поперемінно від зовнішнього і від внутрішнього кругів.
Траєкторії типу «б» трохи складніше, ніж типу «а», але і у них кути падіння на зовнішнє коло однакові. І на внутрішню — теж, що видно з мал.Траєкторії математичного більярду в еліпсі
Природним узагальненням круга в математиці є еліпс. Цікава властивість більярдів в еліпсі: як би ми не випустили більярдний шар з одного фокусу, він після одного віддзеркалення від еліпсу пройде через другий фокус, після другого – через перший фокус. (дотична до еліпса, що проведена в його довільній точці М, утворює рівні кути з відрізком F1MF2M, що з’єднують обидва фокуси з цією точкою).
Теорема про каустик в еліпсі. Якщо одна ланка більярдної траєкторії в еліпсі Э0проходить через фокус, то і вся решта ланок проходить через фокуси. Якщо ж жодна ланка траєкторії не проходить через фокуси, то всі її ланки торкаються однієї і тієї ж кривої. Цією кривою є або еліпс Э1 софокусний з даним, або гіпербола Г1, софокусна з даним еліпсом Э0 (в останньому випадку торкатися гіперболи Г1 можуть не самі ланки, а їх продовження за точку віддзеркалення).
Криві, які одночасно торкаються всіх ланок більярдної траєкторії, називаються її каустиком. Точніше, каустика в більярді — це така крива, що якщо більярдну частку запустити по дотичній до неї, то після віддзеркалення частка також полетить по дотичній до цієї ж кривої. Термін «каустику» запозичений з оптики, де він означає лінію, огинаючу світловий пучок в місці його сходження після віддзеркалення від дзеркала (назва «каустика» означає ту, що «пекуча», оскільки каустик служить місцем концентрації енергії).
Доказ теореми:
(тільки для каустик-еліпсів) Тут F1 і F2 —фокуси еліпса, а А1АА2 - дві ланки більярдної траєкторії. Точка В1 і В2 симетричні фокусам F1 і F2 відносно прямих А1А і А2А. Добре відомо, що відрізки F1А і F2А утворюють однакові кути з дотичною до еліпса в точці А. Тому всі чотири кути ‹В1АА1, ‹А1АF1 ‹F2AA2i ‹A2AB2 рівні між собою. Отже, трикутники АВ1F2 і AB2F1 рівні, тобто B1F2=B2F1. Звідсіля |F1C1| + |F2C1| = |F1C2| + |F2C2|, де С1 і С2 – точки перетину АА1 з В1F2iAA2 з B2F1.Значить, С1 і С2 лежать на одному еліпсі з фокусами F1 і F2, для якого відрізки АА1 і АА2 є дотичними. До речі, каустики є і у більярда в колі – це концентричні кола меншого радіусу.
Математичний більярд на прямокутному столі без луз
Більярдом в прямокутнику називається така система: один точковий більярдний шар на прямокутному більярдному столі ABCD без луз, що рухається по ньому без тертя і віддзеркалюється від його сторін («бортів») по більярдному закону «кут падіння дорівнює куту віддзеркалення».
Найпростіші більярдні траєкторії в прямокутнику – періодичні. Вони можуть бути декількох типів: складатися з дворазово пройдених відрізків між протилежними сторонами (малюнок а)); утворювати родини паралелограмів зі сторонами, паралельними діагоналям прямокутника (малюнок б)); утворювати замкнені ламані (малюнок в))
Бувають і такі траєкторії, які попадають в вершини прямокутника. В такому випадку незрозуміло, як шару належить рухатися після виходу «з кута». Такі траєкторії мають назву – особі, і якщо траєкторія попадає в вершину, обривають її, і від траєкторії залишається тільки її частина (напівтраєкторія). Але у випадку прямокутного більярду шар можна вважати вилетівшим після попадання в вершину в точності у протилежному напрямку. (Такого висновку не можна робити для більярду в довільному многокутнику.)
Намалювати хоча б одну неперіодичну траєкторію більярда в прямокутнику вже значно важче. Задача про розпізнання періодичних і неперіодичних траєкторій більярда розв’язується за допомогою процедури «випрямлення траєкторій»
Випрямлення траєкторії в довільному многокутнику
Нехай Р1Р2Р3… - довільна не особлива траєкторія більярда в многокутнику Q=А1А2А3..Аn. Побудуємо по цій ламаній спеціальну пряму. А саме, відобразимо наш многокутник Q разом з ламаною Р2Р3Р4… відносно тієї сторони многокутника, на якій лежить точка Р2 (першу ланку ламаної Р1Р2 ми не чіпаємо). Згідно закону віддзеркалення, відрізок Р2Р3 симетричний відрізку Р2Р3 є продовженням відрізку Р1Р2 і перший шматок ламаної Р1Р2Р3Р4… - Р1Р2Р3 – нами випрямлений. Тепер відобразимо другий (отриманий з Q при першому віддзеркаленні) багатокутник Q1щодо тієї його сторони, на якій лежить наступна точка зламу Р3′. Отримаємо наступний багатокутник Q2, і образ ланки Р3′Р4′ при новому віддзеркаленні буде, знову-таки, продовженням відрізка P1P2P'. Продовжуючи так і далі, ми можемо будь-який шматок ламаної P1P2P3P4- . . «випрямити», тобто послідовними віддзеркаленнями перетворити в відрізок прямої P1P2P3'P4'
Звичайно, для різних траєкторій прийдеться робить різні послідовності випрямляючих віддзеркалень. Проте якщо ми розглядаємо більярд в прямокутнику, ми можемо із самого початку з допомогою віддзеркаленні замостити всю площину прямокутниками, рівними даному, отримавши грати з прямокутників. Намалювавши на цій площині довільний промінь, що не проходить ні через одну з вершин отриманих прямокутників, ми можемо за допомогою процедури, зворотної описаної, «скласти» цей промінь в траєкторію більярда в початковому прямокутнику ABCD. При такому «складанні» ґрат прямокутників в початковий прямокутник ABCD в кожну точку М прямокутника ABCD потрапляє нескінченно багато точок Мm,nплощини— саме всі ті крапки які виходять з М описаними вище віддзеркаленнями.