Математична статистика (стр. 5 из 7)

Функція

(2.1)

називається функцією максимальної правдоподібності. Точка

, в якій функція максимальної правдоподібності досягає максимуму є значенням статистичної оцінки параметра розподілу . Така статистична оцінка називається оцінкою найбільшої правдоподібності.

Функції

та досягають максимуму в одинакових точках. Тому замість точки максимуму функції шукають точку максимуму функції , що значно зручніше. З математичного аналізу відомо, що точку максимума функції можна знайти за таким алгоритмом:

1) знаходять похідну і прирівнюють до нуля:

;

2) розв’язують одержане рівняння і знаходять екстремальні точки

;

3) знаходять другу похідну

; якщо друга похідна в екстремальній точці від’ємна, то така точка є точкою максимума функції, якщо додатня, то – мінімуму.

Методом максимальної правподібності одержані важливі для практики результати:

1) статистична оцінка параметра

розподілу Пуассона

;(2.2)

2) статистична оцінка параметра p біноміального розподілу є

,(2.3)

n₁ кількість експериментів у першій серії, X₁ - кількість успіхів_; : n₂ кількість експериментів у другій серії, X₂ - кількість успіхіву другій серії;

3) статистичною оцінкою параметра

експоненціального розподілу є обернена величина до вибіркового середнього:

.(2.4)

Якщо розподіл випадкової величини однозначно визначається не одним параметром, а декількома, то функція максимальної правподобності є функцією багатьох змінних:

.

В цьому випадку для знаходження точок максимуму необхідно розв’язати систему нелінійних рівнянь

(2.5)

Саме цим користуються для знаходження статистичних оцінок параметрів нормального розподіл у теорії похибок вимірювання фізичних величин.

8. Теорія похибок вимірювання фізичних величин

Кількісні результати при спостереженнях одержують, як правило, шляхом вимірювання. Якщо істинне значення деякої фізичної величини a, а в результаті вимірювання одержане значення x, то похибка вимірювання визначається як різниця між ними:

. Розрізняють три види похибок: промахи, систематичні похибки та випадкові похибки.

Промахивиникають через грубе порушення умов вимірювання (неправильні дії лаборанта, несправність вимірювальної аппаратури, різка зміна зовнішніх умов) і зазвичай характеризуються порівняно великими похибками.

Систематичні похибкиє результатом впливу не врахованих факторів (підвищена температура, електромагнітні завади, тощо) або недоліками вимірювальних приладів (похибка градуювання, недосконалість методу вимірювання) Промахи та систематичні похибки можуть бути виявлені і враховані як при обробці вимірювань, так і при організації вимірювань. Але як би не були добре організовані вимірювання, завжди залишається багато не врахованих факторів, вплив яких приводить до випадкових похибок.

8.1 Основна гіпотеза

Випадкові похибки є результатом дії великої кількості різних факторів , кожна з яких вносить малу похибку, і жодна з них не має домінуючого впливу (похибки зумовлені домінуючими факторами можна віднести до систематичних похибок). У відповідності до теореми Ляпунова є всі підстави вважати , що похибка є випадковою величиною Dз нормальним розподілом (це суть основної гіпотези).Ця величина може приймати значення похибки

. Є також всі підстави вважати, що відхилення результатів вимірювання рівноймовірні в обидві сторони від істинного значення фізичної величини. Тому математичне сподівання випадкової похибки , а значить її густина розподілу та інтегральна функція матимуть вигляд

,(6.1.1)

.(6.1.2)

Результати вимірювання фізичної величини є випадковою величиною X. Якщо похибка вимірювання розподілена нормально, то і розподіл випадкової величини X є нормальним:

(6.1.3)

з математичним сподіванням, яке дорівнює істинному значенню a фізичної величини, та дисперсією

. Результат окремого вимірювання є елементом з нескінченної множини можливих результатів вимірювань в одинакових умовах (такі вимірювання називають рівноточними). Нескінченна множина значень випадкової величини X є генеральною сукупністю з нормальним законом розподілу, середньоарифметичне значення якої дорівнює математичному сподіванню, яке, в свою чергу, дорівнює істинному значенню фізичної величини. Це означає, що для одержання істинного значення фізичної величини необхідно виконати нескінченну кількість вимірювань. Але на практиці кількість вимірювань обмежена, і тому знайти істинне значення фізичної величини у результаті вимірювань принципово неможливо. Можна лише поставити задачу знайти наближене значення фізичної величини і оцінити її похибку. А ця задача за основною гіпотезою зводиться до знаходження статистичних оцінок параметрів нормального розподілу.

8.2 Статистичні оцінки параметрів нормального розподілу

Результати вимірювання фізичної величини є випадковою величиною X. Якщо похибка вимірювання розподілена нормально, то і розподіл випадкової величини X є нормальним

(6.2.1)

з математичним сподіванням

, яке у математичній статистиці називають генеральним середнім і позначають , та дисперсією ( у матстатистиці ).

Методом максимальної правдоподібності можна довести, що точковими статистичними оцінками параметрів

нормального розподілу (6.2.1) є:

,(6.2.2)

,(6.2.3)

Оцінка (6.2.3) є зміщеною і тому статистичною оцінкою параметра

є корінь квадратний із “виправленної” дисперсії (1.4) – “виправлене” середньоквадратичне відхилення:

.(6.2.4)

Довірчий інтервал

(6.2.5)

покриває невідоме значення

математичного сподівання із надійностю (ймовірністю) . Параметр знаходиться як розв’язок рівняння , - інтеграл Лапласа. Величина

(6.2.5a)

характеризує точність оцінки (6.2.2). З її використанням довірчий інтервал можна записати у вигляді

(6.2.5b)

Приклад 6.2.1. Випадкова величина має нормальний параметр з відомим середньоквадратичним відхиленням

. Знайти довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного сподівання по вибірковому середньому , якщо об’єм вибірки і задана надійність оцінки .