Математична статистика (стр. 2 из 7)
Частковий інтервал довжиною  | Сума частот варіант часткового інтервалу  | Густина частоти  |
| 5-1010-1515-2020-2525-3030-3535-40 | 46163624104 | 0.81.23.27.24.82.00.8 |
Полігон частот такого розподілу має такий вигляд
Емпіричною інтегральною функцією вибіркиназивають функцію
,(3.2) 
– кількість варіант менших ніж x (дискретна випадкова аеличина).
На відміну від емпіричної інтегральної функції розподілу вибірки, інтегральну функцію розподілу генеральної сукупності називають теоретичною інтегральною функцією розподілу. З теореми Бернуллі слідує, що відносна частота події
тобто 
по ймовірності прямуєдо ймовірності 
цієї події. Це означає, що емпірична функція вибірки по ймовірності прямує до теоретичної функції розподілу генеральної сукупності. Тому емпірична функція розподілу вибірки є оцінкою теоретичної функції генеральної сукупності.Із означення емпіричної функції слідують такі її властивості:
1. значення емпіричної функції належать відрізку [0; 1];
2.
– неспадна функція;3. якщо
– найменша варіанта, то 
при 
; якщо 
– найбільша варіанта, то4.
при 
.Статистичні розподіли конкретної вибірки характеризуються початковими
(3.3)
та центральними
(3.4)
емпіричними моментами степені k.
Від вибірки до вибірки емпіричні моменти змінюються і тому мають розглядатися як значення випадкових величин
,відповідно (
- великі букви грецького алфавіту, відповідні до них малі букви 
).Початкові та центральні емпіричні моменти визначаються аналогічним чином, як і моменти дискретних випадкових величин, лише замість ймовірностей використовуються відносні частоти. Тому всі терміни та співвідношення між моментами випадкової величини справедливі і для емпіричних моментів вибірки (необхідно лише замість теоретичних моментів підставити відповідні емпіричні). При великій кількості спостережень емпіричні моменти прямують по ймовірності до відповідних теоретичних моментів.
При обчисленнях емпіричних моментів зручно використовувати умовні варіанти
,(3.5)
c – стала величина (умовний нуль). Якщо варіаційний ряд складається з рівновіддалених варіант з кроком h і в якості умовного нуля вибрана одна з варіант, то умовні варіантами виражаються цілими числами.
Спочатку обчислюються початкові моменти для умовних варіант, які називаються умовними емпіричними моментами:
,(3.6)а потому і самі емпіричні моменти:
,(3.7) 
(3.8) 
(3.9) 
(3.10)Доведення.
,
звідки
. 
.
Приклад 3.3. Для вибірки об’єму
одержані такі результати:  | | | | | |
| 1.001.031.051.061.081.101.121.151.16 | 136424365 | 1.191.201.231.251.261.291.301.321.33 | 244844645 | 1.371.381.391.401.441.451.461.491.50 | 621233242 |
Необхідно обчислити початковий момент першого порядку та другий, третій, четвертий центральний моменти вибірки.
Розв’язування. Об’єм вибірки достатньо великий і тому має зміст перейти до статистичного розподілу для рівновіддалених варіант. Для цього область значень розбивається на однакові інтервали
з кроком 
і підраховується сума частот для кожного відрізку. За рівновіддалені частоти доцільно взяти середини інтервалів. У результаті одержується такий розподіл: 
.Для подальших обчислень зручно вибрати в якості умовного нуля варіанту 1.25:
. У такому випадку розподіл умовних варіант (3.5) такий: 
. 
, 
, 
, 
, 
.Умовні початкові моменти обчислюються за формулами (3.6):
; 
; 
; 
;На підставі формул (3.7 – 3.10) при
: 
; 
; 