Математична обробка результатів вимірів (стр. 10 из 11)
3. Середня квадратична похибка арифметичної середини
Запишемо
Оскільки виміри рівноточні, тобто
, а часткові похідні 
, то за формулою отримаємо дисперсію середнього арифметичного 
Тоді середня квадратична похибка арифметичного середнього арифметичного буде
Додатково обчислюють:
4. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки
5. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки арифметичного середнього
Для оцінки точності похибок вимірів використовують інші критерії.
6. Середню похибку
, як середнє арифмитичне із суми абсолютних випадкових значень похибок, тобото 
7. Середню похибку r. Її визначають в середині зростаючого ряду складеного із абсолютних значень похибок вимірів. Тоді ймовірність серединної похибки буде
Середня квадратична похибка виміру mмає зв’язок середньою
та серединною rпохибками 
; 
8. Абсолютні похибки. До них належать: середня квадратична (m), середня квадратична арифметичного середнього (М), середня (
), серединна (r), істинна ( 
), ймовірна (Vi)і гранична ( 
)9. Відносні похибки. Відношення абсолютної похибки до значення виміряної величини називають відносною похибкою.
Назва відносної похибки відповідає назві абсолютної похибки, наприклад:
квадратична відносна похибка; 
- істинна відносна похибка. 
- гранична відносна похибка тощо.Оцінка точності вимірів за допомогою середніх квадратичних похибок mпорівняно з середньою та серединною похибками має переваги:
1. Обгрунтованості: ймовірність
, тобто при умовах коли число вимірів прямує до нескінченності, середня квадратична похибка прямує до абсолютного значення стандарту.2. Ефективності:
, тобто значення дисперсії буде мінімальним.3. На величину середньої квадратичної похибки mвплив більших за абсолютним значенням похибок
найбільший.4. Середня квадратична похибка mзв’язана з граничною похибкою відношенням
,де t – вибирається із таблиць розподілу Лапласа або Стюдента залежить від надійної ймовірності p та кількості вимірів n.
5. Середня квадратична похибка визначається достатньо надійно при обмеженій кількості вимірів.
4. Числові характеристики нерівноточних вимірів
В практиці геодезичних вимірювань може відчутно порушуватися "комплекс умов": виміри виконують приладами різної точності або різними методами, значно змінюються зовнішні умови (температура, вологість тощо) чи інші чинники. Тоді дисперсії таких вимірів значно відрізняються між собою (
) і їх називають нерівноточиними. Нерівноточні виміри можна виразити статистичним рядом 
, 
( 
)Задача виникає, коли за результатами нерівноточних вимірів однієї і тієї величини необхідно визначити найбільш надійне значення виміряноївеличини і виконати оцінку точності вимірів за допомогою числових характеристик.
В теорії похибок вимірів до числових характеристик нерівноточних вимірів відноситься:
1. Вага вимірів. Розглянемо статистичний ряд нерівноточних вимірів, який будемо характеризувати емпіричними дисперсіями
, 
)Введемо величини —
, обернено пропорційні квадратам середніхквадратичних похибок (емпіричних дисперсій ) і позначимо 
де С - постійний умовно прийнятий коефіцієнт такої величини, щоб значення ваги рі було ближче до одиниці.
Величину рі називають вагами нерівноточних вимірів. Тоді нерівноточні виміри можна характеризувати статистичним рядом
, 
)Якщо дисперсія є мірою абсолютної точності результату, то вага є мірою відносної точності.
Вага вказує наскільки точність одного виміру більш або менш точна відносно іншого в ряду вимірів.
Практично в більшості випадків невідома дисперсія
або середняквадратична похибка вимірів m. Ваги вимірів обчислюють за наближеними формулами 
; 
; 
,де Li – довжина лінії, ходу або полігону;
Ni – кількість виміряних величин;
ni – кількість вимірів однієї і тієї величини (число прийомів).
Аналогічно коефіцієнт С вибирають так, щоб ваги pi за величиною були близькі до одиниці для зручності обчислень.
В практичних розрахунках часто використовують приведені ваги
,де
, тоді 
Ряд нерівноточних вимірів можна звести до рівноточного, якщо кожен вимір помножити на величину
. Статистичний ряд 
..., 
- буде рівноточним.2. Загальне середнє арифметичне
Припустимо, що в результаті вимірів однієї величини отримано статистичний ряд нерівноточних результатів
( 
)Найкращі оцінки отримують тоді, коли виміри х1,або їх похибки
, підкоряються нормальному закону розподілу. Перейдемо до нормованих похибок 
; 
; 
де X- істинне значення вимірюваної величини.
Функція щільності нормованого нормального закону розподілу визначається за формулою
Числові характеристики визначаються за результатами всіх вимірів. Тоді функція щільності сумісного розподілу ряду випадкових величин
буде