Математическая статистика (стр. 2 из 3)

изделие выпущено i-ым заводом, .

Запишем вероятности событий В_i:

Запишем условные вероятности, т.е. вероятности того, что купленное изделие первосортное при условии, что оно выпущено i-ым заводом:

Вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формуле Бейеса:

Задание 10. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р = 0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:

k₁ = 75;

k₂ = 90

Решение:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа :

где Ф(х) – функция Лапласа,

Найдем х₁ и х₂ :

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е.

, получим

.

По таблице найдем :

Искомая вероятность

Задание 12. Дискретная случайная величина Х принимает только два значения х₁ и х₂ , причем

. Известна вероятность р₁ = 0,7 возможного значения х₁, математическое ожидание М(Х ) = 1,3 и дисперсия D(X ) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение:

Сумма вероятностей всех возможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х₂ равна

р₂ = 1 – р₁ = 1 – 0,7 = 0,3.

Запишем закон распределения ДСВ Х :

Х	х1	х2
р	0,7	0,3

Для нахождения значений х₁ и х₂ составим систему уравнений и решим ее:

или ;

или

7x₁²+

=19 (x 3)

70x₁²-182x₁+112 = 0

По условию задачи

. Следовательно, задаче удовлетворяет только решение , и искомый закон распределения будет иметь вид:

Х	1	2
р	0,7	0,3

Задание 12. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения

. Требуется найти:

а) функцию плотности распределения

;

б) математическое ожидание

;

в) дисперсию

;

г) среднее квадратическое отклонение

.

Построить графики функций

и .

Решение:

а) Найдем функцию плотности распределения НСВ Х :

б) Найдем математическое ожидание НСВ Х :

в) Найдем дисперсию НСВ Х :

г) Найдем среднее квадратическое отклонение НСВ Х :

График функции распределения:

График функции плотности распределения:

Задание 13. Задано статистическое распределение выборки. Требуется:

а) найти распределение относительных частот;

б) построить полигон относительных частот;

в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти несмещенные статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности.

xi	1	3	4	6	7
ni	20	10	14	6	10

Решение:

а) Найдем объем выборки:

Относительные частоты определяем по формуле :

Запишем распределение относительных частот :

xi	1	3	4	6	7
wi	0,33	0,17	0,23	0,1	0,17

Контроль:

б) Построим полигон относительных частот:

в) Эмпирическая функция

где

число вариант, меньших х ;

п – объем выборки, может быть представлена в виде:

Тогда, искомая эмпирическая функция будет иметь вид :

Строим график функции

г) Несмещенной оценкой математического ожидания в генеральной совокупности является выборочная средняя:

Найдем эту оценку:

x_в =

(1∙20+3∙10+4∙14+6∙6+7∙10) = = 3,53;

Несмещенной оценкой дисперсии в генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия:

где D_B – выборочная дисперсия.

Найдем выборочную D_В :

=

=

(400+300+784+216+700) – 12,46 = 27,54;

Найдем исправленную дисперсию, т.е несмещенную оценку генеральной дисперсии:

Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности служит исправленное среднее квадратическое отклонение:

.

Найдем эту оценку:

.

Задание 14. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Yна Х по данным, приведенным в корреляционной таблице

ХY	7	14	21	28	35	42
10	5	1	-	-	-	-
15	-	6	5	-	-	-
20	-	-	6	35	9	-
25	-	-	8	9	2	-
30	-	-	-	7	1	6

Решение: