Математическая статистика (стр. 3 из 4)
Тогда длина интервала группирования
- число интервалов (разрядов), неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При 
, 
2) Находим границы величины
, 
3) Находим значение представителей
- середина j-того интервала.4) Для графического описания выборки по условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис. 1) и эмпирическую функцию распределения
(рис. 2)а) На гистограмме относительных частот высота прямоугольников выбирается равной
, основания прямоугольников соответствуют интервалам разбиения. Площадь j-того прямоугольника 
равна относительной частоте наблюдений, попавших в j-тый интервал.Составляем таблицу частот группированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала j, значениями нижней границы (начала интервала) и представителя интервала
, числами значений в j-том интервале 
, накопленной частоты 
, относительной частоты 
, накопленной относительной частоты 
. Число строк таблицы равно числу интервалов r. 
Рис. 1. Гистограмма относительных частот
б) Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот представителей разрядов:
Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединам интервалов группировки
, причём при 
, и при 
Рис. 2. Эмпирическая функция распределения
5) Составленную ранее таблицу частот группированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений
и 
. Она содержит результаты промежуточных вычислений по формулам 
6) После заполнения таблицы 2 рассчитываем значение числовых оценок:
7) Определяем коэффициент вариаций
8) Определяем границы доверительного интервала для математического ожидания по формулам
При заданной доверительной вероятности
по таблицам распределения Стьюдента 
, поэтому имеем 
9) Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины Y равно
10) По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н0 о подчинении случайной величины нормальному закону распределения. Для построения теоретической функции
и 
составляем таблицу значений (таблица 3) нормальной величины 
, определяем функцию Лапласа 
, значения функции распределения на концах отрезков 
и вероятность попадания 
в i-тый интервал по формуле 
11) Рисунок 2 с эмпирической функцией распределения дополняем теоретической функцией F(y), значения которой найдены на концах интервалов.
Рис. 3. Эмпирическая
, теоретическая функция распределения.12) Для проверки согласия выдвинутой гипотезы о о законе распределения экспериментальным данным находим вероятность
попадания опытных данных в j-тый интервал от 
до 
на основе полученных значений функции на границах интервалов. На построенную раньше гистограмму наносим точки с координатами 
и соединяем их плавными линиями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность распределения, необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров. 
Рис. 4. Гистограмма относительных частот и теоретическая плотность вероятности
.13) При количественной оценке меры близости эмпирического и теоретического законов распределения можно использовать критерии Пирсона или Колмогорова.
а) по критерию Колмогорова
Максимальное значение модуля разности между значениями эмпирической и теоретической функциями(см. рис. 2) наблюдается в точке, близкой к представителю
. Тогда 
Вычисляем величину
где r – объём выборки из представителей интервалов
, следовательно 
. Так как 
, поэтому гипотеза о нормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как не противоречащая опытным данным.б) Для вычисления
таблицу 3 дополняем промежуточными результатами 
, 
, 
. Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда 
. Получаем, что