Смекни!
smekni.com

Математическая статистика (стр. 2 из 4)

Рис. 4. Гистограмма относительных частот и теоретическая плотность вероятности

.

13) При количественной оценке меры близости эмпирического и теоретического законов распределения можно использовать критерии Пирсона или Колмогорова.

а) по критерию Колмогорова:

Максимальное значение модуля разности между значениями эмпирической и теоретической функциями(см. рис. 3) наблюдается в точке, близкой к представителю

. Тогда

Вычисляем величину

где r – объём выборки из представителей интервалов

, следовательно
. Так как
, поэтому гипотеза о нормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как не противоречащая опытным данным.

б) Для вычисления

таблицу 3 дополняем промежуточными результатами
,
,
. Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда
. Получаем, что

Для нормального закона распределения

. Тогда число степеней свободы
. При
имеем
. Поэтому гипотеза по критерию
Пирсона принимается.

14) Составляем точечную диаграмму в декартовой (рис. 5) системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение

, а по оси ординат -
. Пары значений
представляем на диаграмме в виде точек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальных прямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину
интервала по оси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми – длину интервала
по оси ординат.

15) Для вычисления коэффициента корреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние две строки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценки коэффициента корреляции

16) Находим

Следовательно, линейные приближения к регрессиям имеют вид:

На рисунке 3 представлены точечная диаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X. Расположение точек

на диаграмме и небольшое значение коэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величин X и Y между собой.

Таблица 2

№ интервала
1 24 34,8 6 6 0,06 0,06 208,8 -99,36 9872,41 59234,46
2 45,6 56,4 4 10 0,04 0,1 225,6 -77,76 6046,618 24186,47
3 67,2 78 5 15 0,05 0,15 390 -56,16 3153,946 15769,73
4 88,8 99,6 16 31 0,16 0,31 1593,6 -34,56 1194,394 19110,3
5 110,4 121,2 21 52 0,21 0,52 2545,2 -12,96 167,9616 3527,194
6 132 142,8 15 67 0,15 0,67 2142 8,64 74,6496 1119,744
7 153,6 164,4 13 80 0,13 0,8 2137,2 30,24 914,4576 11887,95
8 175,2 186 6 86 0,06 0,86 1116 51,84 2687,386 16124,31
9 196,8 207,6 7 93 0,07 0,93 1453,2 73,44 5393,434 37754,04
10 218,4 229,2 7 100 0,07 1 1604,4 95,04 9032,602 63228,21
11 240
Сумма 100 1 13416 251942,4

Таблица 3

№ интервала
1 24 -2,18368 -0,4854 0,0146 0,0255 2,55 3,8025 0,224336
2 45,6 -1,75551 -0,4599 0,0401 0,0517 5,17
3 67,2 -1,32733 -0,4082 0,0918 0,0923 9,23
4 88,8 -0,89916 -0,3159 0,1841 0,1351 13,51 6,2001 0,458927
5 110,4 -0,47099 -0,1808 0,3192 0,1648 16,48 20,4304 1,239709
6 132 -0,04282 -0,016 0,484 0,164 16,4 1,96 0,119512
7 153,6 0,385355 0,148 0,648 0,143 14,3 1,69 0,118182
8 175,2 0,813527 0,291 0,791 0,1015 10,15 17,2225 1,696798
9 196,8 1,241699 0,3925 0,8925 0,06 6 25,8064 2,893094
10 218,4 1,669871 0,4525 0,9525 0,0292 2,92
11 240 2,098043 0,4817 0,9817

Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые в таблице 1.

Таблица 1

Х Y X Y X Y X Y
70 60 97 62 27 25 57 35
73 60 96 85 43 25 60 34
80 55 67 34 24 19 92 85
41 30 80 80 24 20 93 75
56 25 82 78 27 19 100 65
103 92 90 80 100 90 120 115
104 92 120 92 101 110 120 90
104 114 115 115 102 112 92 75
93 62 123 115 145 118 123 112
118 115 127 120 150 118 123 100
121 92 127 117 150 119 96 72
117 92 130 120 150 120 130 119
112 110 135 125 131 120 142 119
96 78 153 125 132 142 142 140
127 120 153 142 202 175 145 144
130 125 153 135 202 173 157 150
130 140 153 145 205 202 180 180
130 119 162 172 180 202 180 200
150 140 165 165 188 225 180 175
140 120 165 150 210 220 180 190
140 125 165 146 221 225 200 200
162 170 170 152 225 220 200 175
155 170 170 165 225 230 240 228
157 160 154 170 227 232 240 232
157 165 154 165 237 232 132 140

1) Находим, что