Однако привлечение математических методов в науку неизбежно влечет за собой и необходимость привлечения самого стиля математического мышления: четкую формулировку исходных положений, полноту проводимой классификации, строгость логических заключений. Об этих моментах и пойдет теперь речь.
В математике всегда перечисляется та совокупность исходных положений, в которых решается задача. Поэтому и полученный результат, вообще говоря, верен только тогда, когда эти исходные положения выполнены. Возьмем для иллюстрации этого утверждения хорошо известную каждому из нас еще с детства теорему Пифагора о соотношении между длиной гипотенузы и длинами катетов. Эта теорема верна для всех прямоугольных треугольников евклидовой плоскости. Если же рассматривать прямоугольные треугольники на какой-либо другой поверхности, например на сфере, то теорема Пифагора, вообще говоря, будет неверна. Именно поэтому в математике требуется перечисление всех условий, в которых верен результат, и не допускается присоединение понадобившихся в процессе рассуждений дополнительных предположений. Такая скрупулезная точность в перечислении условий теорем и во всем изложении, берущая свое начало в математике еще со времен эллинизма, долгое время была присуща только ей. В других научных дисциплинах, а также в практической деятельности к этой отточенной строгости относились в лучшем случае безразлично.
Аксиоматический метод изложения, принятый в геометрии со времени древних греков, в XIX веке получил более широкое развитие. В работах итальянских геометров, а позднее в знаменитом произведении Д. Гильберта (1862— 1943) «Основания геометрии» были тщательно изучены сами аксиомы Евклида. При этом оказалось, что классических аксиом далеко не достаточно для строго логического построения евклидовой геометрии, что в процессе логических рассуждений в классической геометрии при доказательстве теорем прибегают к дополнительным соображениям интуитивного характера, которые не содержатся в сформулированных аксиомах. Гильберт тщательно проанализировал исходные положения геометрии Евклида и сумел довести до конца процесс выделения исходных положений, начатый в Древней Греции.
Позднее на этот же путь четкого перечисления исходных положений теории встали алгебра, механика, теория вероятностей и ряд других областей математической мысли. При таком способе изложения всегда известно, о чем идет речь, и нет опасности привнесения соображений интуиции при правильных рассуждениях в окончательный результат, нет возможности множественности суждений об одном и том же предмете.
Эта простая мысль — рассматривать хорошо определенные понятия и относительно них делать заключения, базирующиеся на определенных исходных положениях, аксиомах — в наши дни широко входит в обиход науки и практической деятельности. Такой подход, примененный к правилам грамматики, показал, что они не обладают полнотой определения. Положение спасает привычка повседневного разговорного языка, в результате чего некоторый дефект определений не играет серьезной роли при употреблении родного языка. Однако любая попытка передать автомату конструирование фраз по определенным правилам грамматики или же перевод с одного языка на другой неизбежно приводит к ошибкам, к многочисленным возможностям неправильных оборотов речи. А такого рода общений человека с машиной в наши дни много, и у нас должна быть уверенность в том, что машины правильно воспримут указания и сделают именно то, что им задано.
В связи с первыми шагами человечества в завоевании космоса становится актуальной проблема общения человечества с другими цивилизациями, с которыми возможно придется встретиться во время космических полетов. При этом неизбежно возникнет задача общения. Ясно, что французского, английского или русского языка для этого недостаточно. Пока проблемами этого рода занимаются в первую очередь писатели-фантасты. Они предлагают решение, которое может и не осуществиться в действительности: представители других цивилизаций находятся на столь высокой ступени интеллектуального развития, что уже обладают совершенными автоматами-переводчиками, которые автоматически настраиваются на язык прибывшего к ним космонавта и ведут с ним беседу на его родном языке. Однако об этой проблеме размышляют и ученые. Они исходят из другого предположения. Если нам придется встретиться с представителями внеземных цивилизаций, то они будут владеть элементами формальной логики и обладать основами геометрических представлений. Поскольку законы мира едины, то и законы логики и первичные геометрические понятия землян и представителей внеземной цивилизации будут одинаковы.
Однако необходимость математического подхода к строгости и точности определений и логических рассуждений нужна не только для подобных, пока весьма отдаленных перспектив, но и для дел, независимо от того, касаются ли они лингвистики, юриспруденции, инженерного дела или экономики. В течение ряда лет я был довольно тесно связан с врачами, занимаясь совместными исследованиями по объективизации диагностики сердечных заболеваний. Меня поразило наличие почти что математического стиля мышления в основном коллективе врачей — сотрудников института сердечных заболеваний. Анализ состояния каждого больного проводился с поразительной логической скрупулезностью, свойственной до последнего времени лишь математическим исследованиям.
Вторая сторона математизации мышления состоит в том стремлении, которое теперь наблюдается, — выводить из строго сформулированных начальных положений логические следствия и затем эти следствия подвергать непосредственному наблюдению. При этом особую ценность приобретают те теоретические построения, которые позволяют привлечь к получению логических заключений разнообразный аппарат дедуктивной математики. При этом удается воспользоваться огромным объемом уже полученных математикой выводов. Этим пользуются в математике уже давно.
Почти два столетия назад возникла математическая физика, которая на базе основных положений, выведенных из наблюдения и опыта, получает обширные следствия математическим путем. Так развивались геометрическая и волновая оптика, так шло развитие акустики и электродинамики. В еще большей мере этот путь оправдал себя в современной физике, имеющей дело с атомными и субатомными явлениями. Математическая теория приводила к выводам, согласно которым должны существовать ранее ненаблюдавшиеся элементы материи. Эти выводы сравнивались с результатами наблюдений, и эти сравнения приводили к интересным и важным следствиям: подсчету величин массы и заряда частицы; ее взаимосвязей с ранее наблюдавшимися частицами и т. д. Иногда проходили годы, прежде чем удавалось подтвердить выводы математической теории экспериментально. Современная физика полна такими математическими предвычислениями реальных явлений, о которых не было известно ничего и которые позднее были обнаружены путем сложных экспериментов, специально продуманных на основе математической теории.
Нетрудно привести многочисленные примеры того, как математический стиль мышления приносил пользу в других областях знания — биологии, экономике, организации производства. Вспомним, для примера, что электротехника и радиотехника излагаются как математические дисциплины и используют разнообразный и весьма сложный математический аппарат. Это полностью себя оправдывает, поскольку позволяет производить своевременно расчеты, прогнозировать течение процессов, получать возможность управления процессами.
Мы говорили о том, что качество любой теории реальных явлений проверяется практикой и постановкой соответствующим образом организованных экспериментов. Однако математика вмешалась и в вопросы организации самого эксперимента: как следует организовать наблюдения, чтобы извлечь при том же количестве испытаний максимум информации? Эта проблема важна, поскольку на испытания в промышленности, на эксперимент в научных лабораториях и конструкторских бюро затрачиваются теперь огромные материальные средства и человеческие усилия.
Сейчас уже созданы основы математической теории эксперимента, которая позволяет значительно сокращать число необходимых наблюдений, их стоимость и длительность для получения обоснованных выводов. Порой этот выигрыш весьма велик — в десятки раз (по стоимости я затраченным усилиям). Основная идея, которая при этом используется, состоит в том, чтобы учитывать результат предшествующих испытаний и производить каждое последующее испытание так, чтобы оно уточняло уже полученные сведения.
Появление ЭВМ изменило отношение людей к возможностям математики при решении жизненных вопросов. Оказалось, что на машины можно переложить не только производство громоздких вычислительных работ, но и осуществление логических выводов. Но для того, чтобы это стало возможным, требуется предварительно составить логико-математическую модель явления или процесса, выявить связи и имеющиеся количественные соотношения. Иными словами, нужно подвергнуть процесс предварительному математическому и логическому анализу. Перед человечеством открылся новый, очень мощный метод исследования, нашедший почти немедленно широчайшее применение в самых разнообразных областях знания, как в науке, так и в непосредственной практике. В результате множество лиц, ранее скептически относившихся к возможностям математики, стали приверженцами ее использования и с увлечением стали применять математический стиль мышления, математические методы к интересующим их проблемам.
Наличие математических машин к тому же позволяет в фантастически короткие сроки осуществлять грандиозные вычисления, еще совсем недавно недоступные прежним средствам вычислительной техники. Трудности вычислений переместились в вопросы создания соответствующих языков программирования, в составление программ вычислений, в создание приемов автоматического выбора нужной программы самой машиной, разработки теории ошибок массовых вычислений и т. д. Математика же и математики освободились от необходимости производства многочисленных элементарных чисто технических операций.