Кривые и поверхности второго порядка (стр. 3 из 3)

Данное уравнение задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:

Если h +

< 0, h< , запишем полученное уравнение в виде:

Данное уравнение задаёт сопряжённыегиперболы с центрами в точке (0, h, 0).

Полуоси гипербол:

a=

- действительная полуось, b= - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |.

При различных значениях h получаем семейство соответствующих гипербол:

h=-1 a=

; b= ;

h=-2 a=

; b= ;

h=-3 a=

; b= ;

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

Рассмотрим линии

, полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий

на плоскость XO'Yимеют вид:

: (4.9)

Уравнение (4.9) задаёт параболы, с вершинами в точках V(0,

, h) и параметром

p=

. При различных h получим семейство соответствующих парабол:

h = ±1

:

h = ±2

:

h = ±3

:

Изобразим данные параболы на рисунке:

Рассмотрим линии

, полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий

на плоскость YO'Zимеют вид:

(4.10)

Уравнение (4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h,

,0) и параметром p= . При различных h получаем семейство соответствующих парабол.

h = ±1

:

h = ±2

:

h = ±3

:

Изобразим данные параболы на рисунке:

4. Графики уравнения поверхности

Изобразим поверхность второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат.

График в общеалгебраической системе координат:

График в канонической системе координат:

5. Вывод

Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:

1. Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.

2. Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:

h >

- гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z

h =

- две пересекающиеся прямые

h <

- сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y

3. Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).

4. Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей.

Список литературы

1. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.

2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.