Краевые задачи и разностные схемы (стр. 2 из 7)
3. Разностные системы уравнений для краевых задач
Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.
Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.
Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора
как 
,обязательно задается полный набор краевых условий
, включающий хотя бы одно значение 
, или набор комбинаций из значений 
и Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы
, 
, 
и матрица 
в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования 
, в котором 
с шагом по оси абсцисс равном 
. Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения: 
.Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:
Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции
необходимо выполнить следующие операторные преобразования: 
Заменив конечно-разностные операторы
(после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига 
и вспомнив, что 
, получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции: 
.Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине
и c наибольшим – для точек конца интервала.Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k1, k2для формул погрешности.
Трех точечная аппроксимация первой производной
 | y(0) | y(1) | y(2) |  |
| y’(0) | -3 | 4 | -1 | 2 |
| y’(1) | -1 | 0 | 1 | -1 |
| y’(2) | 1 | -4 | 3 | 2 |
Четырех точечная аппроксимация первой производной
 |  |  |  |  |  |
 | -11 | 18 | -9 | 2 | -3 |
 | -2 | -3 | 6 | -1 | 1 |
 | 1 | -6 | 3 | 2 | -1 |
 | -2 | 9 | -18 | 11 | 3 |
Пятиточечная аппроксимация первой производной
 | | | | |  |  |
| | -25 | 48 | -36 | 16 | -3 | 12 |
| | -3 | -10 | 18 | -6 | 1 | -3 |
| | 1 | -8 | 0 | 8 | -1 | 2 |
| | -1 | 6 | -18 | 10 | 3 | -3 |
 | 3 | -16 | 36 | -48 | 25 | 12 |
Шести точечная аппроксимация первой производной
 | | | | | |  |  |
| | -137 | 300 | -300 | 200 | -75 | 12 | -10 |
| | -12 | -65 | 120 | -60 | 20 | -3 | 2 |
| | 3 | -30 | -20 | 60 | -15 | 2 | -1 |
| | -2 | 15 | -60 | 20 | 30 | -3 | 1 |
| | 3 | -20 | 60 | -120 | 65 | 12 | -2 |
 | -12 | 75 | -200 | 300 | -300 | 137 | 10 |
Семи точечная аппроксимация первой производной
 | | | | | | |  |   |
| | -147 | 360 | -450 | 400 | -225 | 72 | -10 | 60 |
| | -10 | -77 | 150 | -100 | 50 | -15 | 2 | -10 |
| | 2 | -24 | -35 | 80 | -30 | 8 | -1 | 4 |
| | -1 | 9 | -45 | 0 | 45 | -9 | 1 | -3 |
| | 1 | -8 | 30 | -80 | 35 | 24 | -2 | 4 |
| | -2 | 15 | -50 | 100 | -150 | 77 | 10 | -10 |
 | 10 | -72 | 225 | -400 | 450 | -360 | 147 | 60 |
Трех точечная аппроксимация второй производной