тогда

(3.7)

следовательно

(3.8)

Из этой же системы находим закон распределения температуры муфеля:

(3.9)

откуда получим

(3.10)

Находим плотность потока j(x) из системы (3.1) учитывая Т_А=Т^*, (3.8), (3.10).

(3.11)

Пусть теперь на

известен закон распределения температуры проволоки А (см. рис1):

(3.12)

И пусть для проволоки В известно начальное условие:

(3.13)

Тогда согласно этому закону и начальному условию находим законы распределения температур проволоки В, муфеля и плотности j.

Учитывая уравнение (3.4) находим Т_B(х)

(3.14)

(3.14) является линейным неоднородным уравнением вида [4]

(3.15)

Его решением является

(3.16)

Откуда находим

. (3.17)

Учитывая начальное условие (3.13) находим С=const

(3.18)

Подставляя С в (3.17) находим закон распределения температуры проволоки B:

Из (3.9) определим закон распределения температуры муфеля

(3.20)

Плотность теплового потока j находим из третьего уравнения системы (3.1), учитывая формулы (3.12), (3.19), (3.20).

Согласно второму параграфу на I=[-h; h] плотность потока j₀ постоянная величина. Найдём её.

(3.21)

тогда

(3.22)

Учитывая (3.7) получаем

Определим неизвестный параметр

.Определить его можно исходя из условия (3

)

(3.23)

Перепишем это уравнение это уравнение в виде:

(3.24)

Решается это уравнение методом итераций. [1] Опишем схему решения: если каким-либо способом получено приближённое значение

(в качестве

можно взять произвольное значение из интервала, содержащего корень; такой интервал можно сделать достаточно малым) корня (3.24), то уточнение корня можно осуществить методом последовательных приближений. Для этого уравнение представляют в виде

, (3.25)

Что всегда можно сделать, и притом многими способами, например

, (3.26)

где c – произвольная постоянная.

Пусть число

есть результат подстановки

в правую часть уравнения (3.25):

(3.27)

Итерационный процесс сходится (

), если на отрезке [a; b], содержащем корень

и его последовательные приближения, выполнено условие

. (3.28)

4. Пример термообработки проволок на встречных курсах

Рассмотрим процесс термообработки проволок на встречных курсах аналогичный рассмотренному в предыдущем параграфе только в качестве закона распределения температуры проволоки А возьмём закон:

(4.1)

Тогда из системы (3.1) находим, Т_В(х), Т_С(х) и плотность потока j, учитывая начальное условие (3.13).

Из (3.14) получаем

(4.2)

Решая его получаем:

(4.3)

Тогда

(4.4)

(4.5)

Заключение

В курсовой работе было рассмотрено: физические и математические модели термопроцессов на встречных курсах, простой и сложный отжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате.

Приведены: методика исследования физических и математических моделей.

Рассмотрен пример термообработки проволок.

Список источников

1 Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.– М. Издательство «Наука», 1987. – 600 с.

2 Гольдштейн М.И. Специальные стали – М. Издательство «Наука», 1968. – 500 с.

3 Островский О.И. Свойство металлических расплавов – М. Издательство «Наука», 1978. – 660 с.

4. Зиновьев В.Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах стали – М. Издательство «Наука», 1986. – 350 с.

5 Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М: Издательство «Вышэйшая школа», 1974. – 250 с.

6 Михалин С.Г. Курс математической физики – М. Издательство «Наука», 1968. – 575 с.