Краевые задачи для алгоритмов приближённого построения заданного режима термообработки проволок на встречных курсах (стр. 3 из 4)

(2.2)

Исходя из физического смысла задачи, можно предположить, что свою заданную температуру

они достигают в обогреваемой зоне муфеля в некоторых точках x = ±h:

(2.3)

Пусть

(2.4)

Итак, каждая из проволок, вступая в термоаппарат с нулевой температурой, его покидает с температурой Т₄. Следовательно, удельное количество тепла, поглощаемого проволокой в термоаппарате – удельная энергоёмкость данного процесса равна

, (2.5)

а показатель относительной энергоёмкости

(2.6)

равен

(2.7)

Необходимая для этого энергия поступает из внешнего источника, действующего в зоне

, и следовательно,

(2.8)

В этой зоне средняя скорость нагрева проволок

(2.9)

а плотность внешнего теплового потока здесь постоянна и, согласно (1.11) ровна

(2.10)

В периферийных необогреваемых зонах муфеля

j=0 и i=0.

При названных условиях и соглашениях систему (1.10), (1.18) преобразуем к виду:

(2.11)

где

(2.12)

Если

К<0,5 , (2.13)

то решение системы (2.12), удовлетворяющее всей совокупности названных условий и ограничений, можно выразить следующими зависимостями:

(2.14)

(2.15)

При этом

(2.16)

В зоне обогрева

графиками температур Т_А =Т_А(х), T_B=T_B(x), T_C=T_C(x) и средней температуры проволок

(2.17)

являются одинаковые, обращённые выпуклостью вверх параболы с вершинами, соответственно

где

(2.18)

(2.19)

. (2.20)

3. Сложный отжиг проволок на встречных курсах в муфельном термоаппарате

Рассмотрим отжиг проволок на встречных курсах и рассмотрим уравнения баланса тепла:

(3.1)

Условимся что

(3.2)

Согласно § 2 температура проволок А и В, при постоянной плотности потока

, нарастает по параболическому закону на отрезке [-h, h]. На этом отрезке проволока А достигает своей максимальной температуры (см. рис.)

Y

Т^* A ^const

T^*

F(t)

B&bsol;

X

Рис. 1

Постановка задачи. Пологая, что допустим любой форсированный режим нагрева с условием изотермичности в окрестности максимальной температуры и что задан строго определённый режим охлаждения в ограниченном интервале температур, разработать алгоритм расчета параметров нагрева проволок при их движении встречными потоками.

Пусть T_A(x), T_B(x), T_С(x) – распределение температур проволок A и B, движущихся навстречу друг другу, и муфеля С. Весь путь термообработки проволок A и B разбит на интервалы: [-h, h], [h,

], [ . Известно, что на интервале [-h, h] при постоянной плотности потока j₀ проволоки нагреваются по параболическому закону, на интервале [h, ] проволока A достигает максимальной температуры T^* и сохраняет ее на всем интервале. На интервале [ закон распределения температуры проволоки A: T_A(x)=F(t)=F( ). Требуется определить законы распределения температур проволоки B, муфеля С и плотности потока j на интервалах [h, ], [ . При этом процесс считаем симметричным.

Так как на [h,

] проволока A достигает максимальной температуры Т^* то из (3.1) находим закон распределения температуры проволоки В

(3.3)

(3.4)

Учитывая, что T_A=T^*, получаем дифференциальное уравнение, решая которое закон находим изменения температуры проволоки В.

(3.5)

Здесь нам надо определить С=соnst. Для этого отрезок [A, B] обозначим через

. Тогда получаем точку и откуда находим начальное условие для проволоки В:

(3.6)