Клеточные пространства (стр. 7 из 8)

Барицентрическое подразделение q-мерного симплекса состоит в том, что этот симплекс разбивается на (q + 1) ! более мелких q-мерных симплексов. Вершины новых симплексов - это центры тяжести граней старого симплекса (в том числе - его самого). Множество {х₀, х

,..., x_q) этих центров является множеством вершин некоторого симплекса барицентрического подразделения, если соответствующие грани ₀, ,..., _q можно составить в цепочку последовательно вложенных друг в друга, см. рис.7. (По-другому барицентрическое подразделение q-мерного симплекса можно описать так: сначала подвергаются барицентрическому подразделению все его (q - 1) - мерные грани, а потом над всеми построенными симплексами, лежащими на границе симплекса , строятся конусы с вершиной в центре этого симплекса; начать это индуктивное определение можно с q = 0: с нульмерным симплексом при барицентрическом подразделении ничего не происходит. Еще по-другому: симплекс - его совокупность точек вида , где - вершины, t ≥ 0 и t = 1; симплексы барицентрического подразделения отвечают перестановкам (i₀, i ,..., i_q) чисел 0, 1,..., q; симплекс, отвечающий этой перестановке, состоит из точек

t с .

Барицентрическое подразделение триангуляции - это триангуляция, составленная из симплексов барицентрических подразделений симплексов исходной триангуляции (рис.8).

Обратимся теперь к нашему отображению

. Прежде всего мы построим в шарике d = d_q концентрические шарики d , d₂, d₃, d радиусов /5, 2 /5, З /5,4 /5, где -радиус шарика d. Далее, покроем V конечным числом р-мерных симплексов, содержащихся в U, и триангулируем объединение К этих симплексов (объединение конечного числа как угодно пересекающихся евклидовых симплексов в R^pобладает конечной триангуляцией). Применив к этой триангуляции достаточное число

Рис.7 Рис.8

раз барицентрическое подразделение, мы можем добиться того, чтобы для любого симплекса

триангуляции выполнялось неравенство diam ( ) < /5. Пусть K₁ - объединение симплексов построенной триангуляции нашего множества К, -образы которых пересекаются с d₄. Тогда d₄ < (U) (K₁) d. Рассмотрим отображение ': К₁ d, совпадающее с на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения │K

и ’ гомотопны - они соединяются прямолинейной гомотопией _t: K1

d, ₀= │_K, ₁ = ’. Теперь "сошьем" отображения и ’ в отображение : U IntD^q:

(u), если (u) d_3, (u) = ’ (u), если (u) d_{2, 3-5}

(_{u) (}u), если (u) d₃-d₂.

Здесь

(u) - расстояние от точки (u) до центра шара d. (См. рис.9)

Рис.9

Отображение

непрерывно, совпадает с на U - V и его образ пересекается с d₁ по конечному числу кусков р-мерных плоскостей, т.е. всего шара d₁ (а значит, и всего шара d) не покрывает.

Лемма доказана.

3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Теорема. Если X - клеточное пространство с единственной вершиной (= нульмерной клеткой), не имеющее других клеток размерности <q, aY - клеточное пространство размерности <q, то всякое отображение Y

X гомотопно отображению, переводящему все Y в точку. Такое же утверждение справедливо в категории пространств с отмеченными точками (в клеточной ситуации удобно считать, что отмеченными точками являются нульмерные клетки).

Это прямо следует из теоремы о клеточной аппроксимации: если f: Y

X - клеточное отображение, то так как q-й остов пространства Y есть все Y, а q-й остов пространства X есть точка, то f (Y) - точка.

В частности, если m < q, то

(S^m, S^q) = _b (S^m, S^q) = 0 (т.е. состоит из одного элемента).

Оп ределение. Пространство X называется n-связным, если при q ≤ n множество

(S^q, X) состоит из одного элемента (т.е. если любые два отображения S^q X с q ≤ n гомотопны).