Клеточные пространства (стр. 6 из 8)

Ue

f ( ) IntD^q Обозначим через d^q (замкнутый) концентрический подшар шара D^q. Множество V= (d^q) компактно (как замкнутое подмножество шара D^p). Пусть : U IntD^q - отображение, доставляемое леммой о свободной точке. Отображение f' определим как совпадающее с f вне h (U) и как композицию

x

u y = f’ (x)

h (U) U Int D^q

Y

на h (U). Ясно, что отображение f’ непрерывно (оно совпадает с f на "буферном множестве" h (U - V)) и гомотопно f│

rel (A X ), и даже rel (A X (e -h (V)))) (это вытекает из гомотопности ~ rel (U - V)). Ясно также, что f' (e^p) не покрывает e^q.

Дальнейшее рассуждение совсем просто. Во-первых, неподвижную на A

Х гомотопию между f│ и f' мы можем распространить, по теореме Борсука, на все X, и это позволяет считать, что отображение f', обладающее всеми вышеперечисленными свойствами, определено на всем X. После этого мы берем точку у₀ , не принадлежащую f’ (е^р), и подвергаем f'│ "радиальной гомотопии": если точка x e^p не принадлежит f’ ( ),Tof' (x) стоит на месте, а если f' (x) , то f’ (x) движется по отрезку, идущему из точки у₀ на границу клетки (точнее говоря, по k-образу прямолинейного отрезка, начинающегося в точке k (у₀) проходящего через точку k (f’ (x)) k (у₀) и кончающегося на граничной сфере S шара D^q). Эту гомотопию мы продолжаем до гомотопии отображения f'│ (неподвижной вне е^р) и - по теореме Борсука - до гомотопии всего отображения f’: Х Y. Получающееся отображение f’’ гомотопно f ге1 (A Х ) и обладает тем свойством, что f’’ (e^p) задевает q-мерных клеток на одну меньше, чем f (е ^р) (и, как и f (e^p), не задевает клеток размерности >q). Применив эту процедуру нужное число раз, мы прогомотопируем отображение f к отображению, клеточному на A Х e^p, причем гомотопия будет неподвижной на A Х .

Теперь заметим, что "исправление" отображения f, которое мы проделали для клетки е^р, можно дословно так же проделать одновременно для всех р-мерных клеток из X - А. Тогда мы придем к отображению, клеточному на A

Х^р и гомотопному frel (A Х ).

Неподвижную на А гомотопию, связывающую отображение f с клеточным отображением, мы получим, если проделаем последовательно построенные гомотопии при р = 0, 1,2,... Правда, число этих гомотопии может быть бесконечно, но это не беда: р-ю гомотопию мы производим на отрезке 1 - 2

≤t≤ 1 - 2 . Непрерывность всей гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для каждой клетки е из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторого t_e < 1. Теорема доказана.

3.4 Доказательство леммы о свободной точке

Для человека, не испорченного популярной математической литературой, сама формулировка леммы показалась бы нелепой: как же непрерывный образ пространства меньшей размерности может покрыть пространство большей размерности? Но кто же не знает, что это бывает: кривая Пеано, распропагандированная ничуть не меньше, чем, скажем, бутылка Клейна, осуществляет непрерывное (и даже взаимно однозначное) отображение отрезка на квадрат. Поэтому лемму приходится доказывать, и дело осложняется тем, что геометрическая интуиция помочь тут не может, она упорно твердит свое: такое вообще невозможно. С подобными трудностями сталкиваются всякий раз, когда "строгое" определение того или иного понятия (в данном случае

- -определение непрерывности) не вполне соответствует исходному интуитивному представлению: приходится вникать в устройство не реального объекта, а химеры. Но ничего не поделаешь - доказать лемму надо.

В основе второго доказательства леммы лежит понятие триангуляции. Напомним, что q-мерный евклидов симплекс есть подмножество пространства R

, n ≤ q, являющееся выпуклой оболочкой q + 1 точек, не лежащих в одной (q - 1) - мерной плоскости. (Евклидовы симплексы размерностей 0, 1, 2, 3: точка, отрезок, треугольник, тетраэдр.) Эти q+ 1 точек называются вершинами симплекса. Подсимплексы, т.е. выпуклые оболочки различных подмножеств множества вершин, называются гранями нашего симплекса; это - симплексы размерности ≤q. Нульмерная грань - это вершина. Замечательное свойство симплекса заключается в том, что его линейное отображение в любое пространство R^mопределяется своими значениями на вершинах, причем эти значения могут быть совершенно произвольны. Конечная триангуляция подмножества евклидова пространства - это такое его конечное покрытие евклидовыми симплексами, что любые два симплекса либо не пересекаются вовсе, либо пересекаются по целой грани. Удобно считать, что грани симплексов триангуляции также принадлежат к числу симплексов триангуляции.