Клеточные пространства (стр. 5 из 8)

Далее, F_t (А)

А (при любом t), т.е. р F_t (А) = *. Следовательно, р F_t = = q_t р, где q_t: Х/А Х/А - некоторая гомотопия. При этом q = id иq = р q; следовательно, р q ~ id .

Следствие доказано.

Следствие 2. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то Х/А ~ X

СА, где СА - конус над А.

Доказательство. Х/А = (X

СА) /СА ~Х СА; последнее вытекает из предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X СА и его стягиваемому клеточному подпространству СА.

Замечание. Оба доказанных предложения можно рассматривать не как следствия из теоремы Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) - пара Борсука, а во втором случае - предположением, что (X

СА, СА) - пара Борсука.

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.

Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы).

Теорема. Пусть f - непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: X

Y, что g│_A =f│_A и, более того, f~grelA.

Поясним запись f~grelA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f, g: X

Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия h : Х Y, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что h_t (а) не зависит от t при а А. Конечно, из f~ grelА следует, что f ~ g, но не наоборот. Пример: f,g: I S , f - "наворачивание" отрезка на окружность, g - отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (0 1).

Доказательство теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку е^р

X - А. Ее образ f (e^p) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности f ( ^p)). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем, , dim = q. Если q≤ р, то нам с клеткой е^р делать нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая лемма.

Лемма о свободной точке. Пусть U - открытое подмножество пространства R^p и

: U IntD^q - такое непрерывное отображение, что множество V = (d^q) U, где d^q - некоторый замкнутый шарик в IntD , компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение : U IntD^q, совпадающее с вне

V и такое, что его образ не покрывает всего шара d^q.

Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение

автоматически будет гомотопным относительно U - V: достаточно взять связывающую с "прямолинейную" гомотопию, при которой точка (u) равномерно движется к (u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему (u) с (u).

Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│

гомотопно rel (A X ) отображению f’: A X е ^р Y, такому, что f’ (e^p) задевает те же клетки, что и f (e^р), но заведомо f’ (e^p) не содержит всю клетку . В самом деле, пусть h: D^p Х, k: D^p Y - характеристические отображения, соответствующие клеткам е^р, . Положим U= h (f ( ) е^р) и определим отображение : U IntD^q как композицию:

u

x y = (u)