Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 9 из 20)

Пусть

--- множество всех натуральных чисел. Обозначим через некоторое подмножество из . Пусть , --- некоторые множества простых чисел, а , --- классы всех -групп и -групп соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:

Напомним, что группа

называется -замкнутой ( -нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -дополнение) нормальна в . Группа называется -разложимой, если она одновременно -замкнута и -нильпотентна.

Через

обозначим дополнение к во множестве всех простых чисел, если , то вместо будем просто писать . Тогда --- класс всех -нильпотентных групп, --- класс всех -замкнутых групп, --- класс всех -разложимых групп, --- класс всех нильпотентных групп, где пробегает все простые числа.

Группа

называется -нильпотентной ( -разложимой), если она -нильпотентна ( -разложима) для любого простого числа из . Классы всех -нильпотентных ( -разложимых) групп можно записать в виде

Группа

называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Тогда --- класс всех -замкнутых групп.

2.1 Лемма. Пусть

--- наследственная формация. Если --- -субнормальная -подгруппа группы , то композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из .

Доказательство. Если

, то лемма верна. Пусть . Тогда содержится в -нормальной максимальной подгруппе группы . По индукции, . Так как , то . Отсюда, и из , получаем . Лемма доказана.

2.2 Лемма. Пусть

--- наследственная формация, --- класс всех групп. Тогда формация совпадает с формацией .

Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.

2.3 Теорема [10-A, 13-A]. Пусть

--- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

Доказательство. Пусть

--- формация указанного вида и --- такая группа, что , где и любая силовская подгруппа из и -субнормальна в . Индукцией по порядку докажем, что . Рассмотрим сначала случай, когда --- класс всех групп.

Пусть

--- минимальная нормальная подгруппа из . Ясно, что любая силовская подгруппа из и имеет вид , , где и --- силовские подгруппы из и соответственно. Согласно лемме 3.1.5, и --- -субнормальные подгруппы фактор-группы . По индукции, . Так как --- формация, то отсюда следует, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Очевидно, что . Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .