Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 8 из 20)

1.5 Лемма. Пусть

--- непустая формация, и --- подгруппы группы , причем нормальна в . Тогда:

1) если

-субнормальна ( -достижима) в , то -субнормальна ( -достижима) в и -субнормальна ( -достижима) в ;

2) если

, то -субнормальна ( -достижима) в тогда и только тогда, когда -субнормальна ( -достижима) в .

Доказательство. Пусть

--- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого

.

Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Так как

, то ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что

Итак, для каждого

. Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы .

Ввиду леммы 2.2.6,

Поэтому для любого

. Значит, --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть

--- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого

либо нормальна в , либо . Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Если подгруппа

нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Тогда ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .

Ввиду леммы 2.2.6,

. Поэтому для любого либо подгруппа нормальна в , либо . Значит, --- -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности факторизуемой группыклассическим классам конечных групп

В работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп

и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в . В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16].

В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.

В теории классов групп важную роль играет класс всех

-групп ( --- некоторое множество простых чисел), который обозначается через . Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида с помощью операций пересечения и произведения классов.

Напомним, что произведением классов групп

и называется класс групп , который состоит из всех групп , таких, что в найдется нормальная -подгруппа с условием .