Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 4 из 20)

Одной из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А. Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т. е. формаций

с тем свойством, что любая группа , где и -- -субнормальные -подгруппы, принадлежит .

Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций.

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций

, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных ( -субнормальных, -достижимых) -подгрупп, индексы которых взаимно просты.

Классифицировать наследственные насыщенные формации

с тем свойством, что любая группа , где и --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .

В 1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида

, где и --- -нильпотентные подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.

Естественно возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций

, замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число.

В попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических групп формации

( минимальных не -групп), т. е. групп, не принадлежащих некоторому классу групп , но все собственные подгруппы которых принадлежат . Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А. Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп.

Таким образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций

, замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп. На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное исследование.

1. Некоторые базисные леммы

В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].

Напомним, что подгруппа

называется субнормальной подгруппой группы , если существует цепь подгрупп

такая, что для любого

подгруппа нормальна в .

Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие

-субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в монографии [44].

Пусть

--- непустая формация. Подгруппу группы называют -субнормальной, если либо , либо существует максимальная цепь

такая, что

для всех .

Несколько другое понятие

-субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова.

Подгруппу

называют -субнормальной в смысле Кегеля или -достижимой, если существует цепь подгрупп

такая, что для любого

либо подгруппа нормальна в , либо .

Для любой непустой формации

множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы содержит множество всех субнормальных подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если же --- непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы .

В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.

Напомним, что формация

называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям: