Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 18 из 20)

где

--- элементарная абелева -группа, а . Так как не входит в , то по лемме 2.2.12 , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как и , то является -группой. Отсюда следует, что . Из нормальной наследственности формации , по теореме 2.2.13, следует, что является нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, . Получили противоречие. Таким образом, . Лемма доказана.

Напомним, что формация

называется формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

3.9 Теорема [16-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)

--- формация Шеметкова;

2) формация

содержит любую группу , где и --- -достижимые -подгруппы из и ;

3)

--- сверхрадикальная формация и ;

4) формация

такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -субнормальных подгрупп и подгруппа -субнормальна в и ;

5) формация

такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -достижимых подгрупп и подгруппа -достижима в и ;

6)

, где --- некоторые множества простых чисел и .

Доказательство следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.

3.10 Теорема [3-A, 5-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация

содержит любую группу , где и --- -субнормальны в G и ;

2)

, где --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть

--- формация, удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной формацией. Пусть --- любая группа такая, что , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие . Пусть и произвольные -силовские подгруппы из и соответственно. Так как , и --- наследственная формация, то и -субнормальны соответственно в и . Так как и -субнормальны в , то по лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Отсюда следует, что . Следовательно, --- сверхрадикальная формация.