Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 17 из 20)

Выше показано, что

--- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть --- группа простого порядка и . Нетрудно показать, что . Так как , имеем . Отсюда следует, что . Противоречие.

Пусть теперь

--- группа Шмидта. Поскольку , то из свойств группы Шмидта следует , где и . Так как , то . Из того, что , следует . Так как и --- наследственная формация, то . Теперь из того, что , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы и , следует что . Получили противоречие. Итак, , значит, .

Так как

--- локальный экран формации , имеем

следовательно,

--- формация из 2).

Пусть

. Тогда из следствия 3.2.5 следует, что --- сверхрадикальная формация. Теорема доказана.

Покажем, что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации

можно отбросить, в случае, когда --- разрешимая формация.

3.7 Лемма. Пусть

--- разрешимая нормально наследственная формация. Если и , то .

Доказательство. Пусть

и . Если , то утверждение леммы очевидно. Пусть . Пусть --- нормальная максимальная подгруппа группы . Если , то .

Пусть

. Ясно, что . Так как и --- нормально наследственная формация, то . Индукцией по порядку группы получаем, что . Лемма доказана.

Если

--- произвольный класс групп, то через обозначим наибольший по включению наследственный подкласс класса . Более точно

3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.

Доказательство. Пусть

--- разрешимая сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не -группа является группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Покажем, что

, где --- максимальная наследственная подформация из . Допустим, что множество непусто и выберем в нем группу наименьшего порядка. В силу леммы 2.2.11, формация является насыщенной. Поэтому . Очевидно, что группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Так как , то в найдется минимальная не -группа . Из нормальной наследственности формации следует, что . Ясно, что является также минимальной не -группой.

По условию,

--- группа Шмидта. В этом случае , где --- нормальная силовская -подгруппа, а --- циклическая -подгруппа группы , и --- различные простые числа.

Если

, то

Получили противоречие с выбором

. Остается принять, что . Отсюда и из получаем, что , а значит, --- -группа. Рассмотрим . Тогда группу можно представить в виде