Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 15 из 20)

3.5 Лемма. Пусть

--- наследственная насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)

--- сверхрадикальная формация;

2)

--- содержит любую группу , где и для любого простого числа из силовские -подгруппы и -субнормальны в .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть

--- сверхрадикальная формация и пусть , где и для любого простого числа из и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как --- насыщенная формация и , то и принадлежат . Так как --- разрешимая формация и --- -субнормальная подгруппа группы , то отсюда нетрудно показать, что --- разрешимая группа. А это значит, что и разрешимы.

Согласно теореме Ф. Холла [63],

, где . Так как --- сверхрадикальная формация, то принадлежит . Так как и --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно теореме 2.2.10, --- -субнормальная подгруппа группы . Так как принадлежит и --- сверхрадикальная формация, то подгруппа принадлежит . Продолжая в аналогичном порядке получаем, что принадлежит . Аналогичным образом можем доказать, что принадлежит . Так как --- сверхрадикальная формация, то .

Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.

В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.

3.6 Теорема [20-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)

--- сверхрадикальная формация;

2)

, где --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Пусть

--- сверхрадикальная формация. Вначале докажем, что любая минимальная не -группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.