Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 14 из 20)

2.18 Следствие. Пусть

--- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.19 Следствие. Пусть

--- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

3. Сверхрадикальные формации

В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.

В.Н. Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют следующее строение:

, где --- некоторые множества простых чисел, а --- множество всех разрешимых -групп.

В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.

Приведем примеры сверхрадикальных формаций.

3.1 Пример. Формация всех

-групп , где --- некоторое множество простых чисел является сверхрадикальной формацией.

Действительно. Пусть

, где и --- -группы, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как формация замкнута относительно расширений, то, очевидно, что --- -группа.

3.2 Пример. Формации

, --- сверхрадикальные формации.

Действительно, если

--- -субнормальная подгруппа группы , то --- субнормальная подгруппа из . Очевидно, что любая группа , где и --- нильпотентные субнормальные подгруппы из , нильпотентна.

Если

--- разрешимая -субнормальная подгруппа из , то разрешима. Следовательно, --- сверхрадикальная формация.

Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.

Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.

Напомним, что формациями Фиттинга

называются формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения нормальных -подгрупп.

3.3 Лемма. Пусть

--- наследственная сверхрадикальная формация, тогда --- формация Фиттинга.

Доказательство. Пусть

, где и --- нормальные -подгруппы группы . Так как

то

. Аналогичным образом, . Согласно лемме 3.1.4, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как --- сверхрадикальная формация, то . Итак, --- формация Фиттинга. Лемма доказана.

3.4 Лемма. Пусть

--- непустая наследственная формация. Если содержит любую группу , где для любого из силовские -подгруппы и принадлежат и -субнормальные подгруппы в , то --- сверхрадикальная формация.

Доказательство. Пусть

--- непустая наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что --- сверхрадикальная формация. Пусть , где и --- -субнормальные -подгруппы группы . Пусть --- произвольное простое число из , а и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и принадлежат и --- наследственная формация, то и принадлежат и, и -субнормальны в и соответственно. Так как и --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Согласно условию леммы, принадлежит . А это значит, что --- сверхрадикальная формация. Лемма доказана.