Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 13 из 20)

Покажем, что

. Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Так как --- наследственная формация, то . Итак, .

Рассмотрим следующие два случая.

1) Пусть

--- абелева, тогда --- примарная группа. Так как --- насыщенная формация и , то . Как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что .

2) Пусть

--- неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и

.

Рассмотрим подгруппу

. Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, .

Так как

и --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что

А это значит, что

. Если , то . Последнее равенство невозможно, так как , согласно лемме 3.1.4, собственная -субнормальная подгруппа .

Итак,

--- собственная подгруппа . Если , то

Так как

и --- наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .

Согласно индукции, группа

принадлежит формации . Согласно лемме 3.2.13, любая -достижимая подгруппа является -субнормальной подгруппой. Согласно условию получаем, что группа принадлежит .

Непосредственно из определения

-субнормальности и -достижимости из 2) следует 1). Лемма доказана.

Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.

2.15 Теорема. Пусть

--- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.16 Следствие. Пусть

. Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.17 Следствие. Пусть

--- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .