Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число (стр. 7 из 13)

2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)

--- -формация Шеметкова;

2)

, где и .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Ясно, что формация

является формацией Шеметкова. Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:

где

--- максимальный внутренний локальный экран . Вначале докажем, что , где --- любое простое число из . Предположим, что это не так. Тогда найдется простое число , но . Обозначим через группу простого порядка . Очевидно, что и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Покажем, что . Так как точен, то . Так как , то, очевидно, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Так как и , то нетрудно заметить, что . Итак, . Так как , то это невозможно ввиду того, что --- -формация Шеметкова. Итак, для любого из . Отсюда, в частности, следует, что . Учитывая данные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:

Используя лемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:

где

--- некоторое множество простых чисел, содержащее число .

Покажем, что из 2) следует 1).

Действительно, что

--- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа, --- -группа и , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из того факта, что , следует, что . Получили противоречие. Тогда . Согласно лемме 2.2.20, насыщенная формация имеет полный локальный экран такой, что . Очевидно, что . Так как , то очевидно, что . Итак, любая минимальная не -группа с либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной -силовской подгруппой. Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда . Итак, --- -формация Шеметкова. Теорема доказана.