Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число (стр. 6 из 13)

Доказательство. Пусть

--- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме 5.1.4, она имеет следующее строение:

где

--- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Пусть

--- группа наименьшего порядка, не принадлежащая , такая, что , где и --- -подгруппы, индексы , не делятся на и -субнормальна в .

Нетрудно показать, что

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .

Так как

--- насыщенная формация, то .

Пусть

--- абелева группа и --- -группа. Если , то из того факта, что , следует, что . Противоречие.

Если

--- -группа, то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что . Противоречие.

Пусть

--- неабелева группа. В этом случае

z\ неабелевых простых групп и

.

Рассмотрим подгруппу

. Так как --- собственная -субнормальная подгруппа группы и , то нетрудно показать, что . Рассмотрим подгруппу . По тождеству Дедекинда

Очевидно, что

--- -субнормальная подгруппа . Так как --- наследственная формация и , то . Очевидно, что индексы , не делятся на . Тогда по индукции, . Если , то . Получили противоречие. Значит, . Так как --- нормальная подгруппа из , то --- нормальная подгруппа из . Но тогда

где

--- изоморфные неабелевы простые группы, . Так как и --- наследственная формация, то . Отсюда нетрудно показать, что . Если делится на , то из того, что , следует, что --- нормальная подгруппа группы . Противоречие. Если --- -группа, то ясно, что . Противоречие. Теорема доказана.

2. Описание

-формаций Шеметкова

Введем следующее определение.

Определение. Формация

называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа --- либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, либо группа простого порядка.

Приведем пример

-формаций Шеметкова.

2.1 Пример. В классе конечных разрешимых групп формация всех

-замкнутых групп является -формацией Шеметкова.

Действительно. Пусть

--- произвольная минимальная не -группа. Так как не -замкнута, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа из , --- -группа, , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, в противном случае, из того факта, что -замкнута и -замкнута, следует, что -замкнута. Получаем противоречие. Известно, что формацию можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, формация имеет максимальный внутренний локальный экран такой, что . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак, --- группа Шмидта с ненормальной циклической подгруппой простого порядка . Пусть . Выше показано, что --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Согласно лемме 3.1.1, --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Итак, --- -формация Шеметкова.