Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число (стр. 4 из 13)
Приведем пример
-формаций Шеметкова.1.1 Пример. Если
--- формация всех -нильпотентных групп, то --- -формация Шеметкова.Пусть
--- произвольная минимальная не -группа. Известно, что группа является разрешимой. Покажем, что является группой Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. Так как не -нильпотентная группа, то 
. Пусть 
. Согласно теореме 2.2.5, 
, где 
--- единственная минимальная нормальная подгруппа, --- примарная 
-группа, 
, где 
--- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что 
. Действительно, если 
, то из того факта, что 
-нильпотентна, а значит и 
так же -нильпотентна, следует, что -нильпотентна, что невозможно. Известно, что формацию можно представить в виде 
. Согласно лемме 2.2.20, 
. Очевидно, что любая минимальная не 
-группа есть группа простого порядка 
. Итак, 
--- группа Шмидта. Пусть 
. Выше показано, что 
--- группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. Теперь, в виду леммы 2.2.2 и леммы 4.1.1, является группой Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. А это значит, что --- -формация Шеметкова.1.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть
, 
, 
--- непустые формации. Тогда 
.Доказательство. Пусть
--- произвольная группа из 
. Тогда 
. Отсюда следует, что 
и 
. А это значит, что 
.Пусть
--- произвольная группа из 
. Отсюда следует, что 
и 
. Тогда и . Итак, . А это значит, что 
. Лемма доказана.Пусть
--- насыщенная формация, а --- ее максимальный внутренний локальный экран, 
--- характеристика формации . Обозначим через 
--- множество простых чисел из таких, что 
, где --- простое число из .1.3 Лемма. Пусть
--- насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда 
Доказательство. Известно, что для любой насыщенной формации
справедливо следующее равенство 
Отсюда следует, что
По лемме 5.1.2,
Лемма доказана.
1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:1)
--- -формация Шеметкова;2)
, где 
и 
.Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Из леммы 5.1.3 следует, что любую насыщенную формацию можно представить в виде
где
--- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что если --- -формация Шеметкова, то 
Действительно, очевидно, что
Покажем обратное включение. Пусть
--- группа наименьшего порядка из