Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число (стр. 3 из 13)

где

, ;

;

--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;

--- класс всех -групп из ;

--- класс всех конечных групп;

--- класс всех разрешимых конечных групп;

--- класс всех -групп;

--- класс всех разрешимых -групп;

--- класс всех разрешимых -групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .

Если

и --- классы групп, то:

.

Если

--- класс групп и --- группа, то:

--- пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ;

--- произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Если

и --- формации, то:

--- произведение формаций;

--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .

Если

--- насыщенная формация, то:

--- существенная характеристика формации .

-абнормальной называется максимальная подгруппа группы , если , где --- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что

(1) каждый фактор

является главным фактором группы ;

(2) если порядок фактора

есть степень простого числа , то .

--- -гиперцентр группы ,

Введение

Известно, что любая конечная группа вида

, где и --- -замкнутые подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -замкнутой.

В работе [38] В.Н. Тютянов доказал, что любая конечная группа вида

, где и --- -нильпотентные подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.

В связи с этим результатом можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации

, содержащие любую группу , где и принадлежат и содержит некоторую силовскую подгруппу группы .

В данной главе в классе разрешимых групп для наследственной формации Фиттинга

данная проблема решена полностью.

1. Описание

-формаций Шеметкова

Важную роль при получении основных результатов данной главы сыграли формации Шеметкова, т. е. такие формации

, у которых любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Впервые наследственные насыщенные разрешимые формации Шеметкова были описаны в работе [22]. Затем в работах [9] и [50, 51] были описаны произвольные наследственные насыщенные формации Шеметкова.

Определение. Формация

называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой.