Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число (стр. 11 из 13)

3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть

--- тотально насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа принадлежит одному из следующих типов:

1)

--- группа простого порядка , где ;

2)

--- группа Шмидта;

3)

--- группа Шмидта;

4)

, где и , где --- группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой, --- простое число отличное от .

Доказательство. Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не

-группа есть группа типа 1) -- 4) из леммы 5.3.1.

Пусть

--- группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда . Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как --- тотально насыщенная формация, то --- насыщенная формация. Согласно лемме . Пусть . Так как --- насыщенная формация, то , что невозможно. Итак, . А это значит, что --- группа простого порядка . Но тогда нетрудно заметить, что --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- группа Шмидта.

Пусть

--- группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда

где

. Покажем, что --- группа Шмидта. Так как --- тотально насыщенная формация, то --- насыщенная формация. В виду леммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что . Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно теореме 2.2.5,

где

.

Так как

--- тотально насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Как и выше, нетрудно доказать, что . Отсюда следует, что --- группа Шмидта. Лемма доказана.

3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть

--- наследственная разрешимая формация Фиттинга, --- некоторое фиксированное простое число. Тогда и только тогда содержит любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , когда есть пересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:

1) класс всех разрешимых

-замкнутых групп;

2) класс всех разрешимых групп с

-длиной ;

3) класс всех разрешимых групп

таких, что --- -группа, где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Доказательство. Необходимость. Согласно результатам работы [33]

является тотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.

Пусть любая минимальная не

-группа есть группа типа 1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда является -формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4 , где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Пусть любая минимальная не

-группа является группой типа 1), 3). Тогда --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

где

--- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Согласно лемме 5.2.3, . А это значит, что .