Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число (стр. 10 из 13)

Пусть

, где . Обозначим через базу сплетения . Тогда

Легко видеть, что

.

Так как индексы

и не делятся на , то . Но , и поэтому

Полученное противоречие показывает, что

. Итак, доказали, что --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- группа Шмидта. Следовательно, --- группа типа 2).

Пусть

--- -группа и . Пусть . Тогда, согласно теореме 2.2.5, , где , , --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как , то --- -группа. Пусть . Тогда рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная подгруппа , то . Так как , то не делится на . Так как --- разрешимая группа, то . Но тогда в существует максимальная подгруппа такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная подгруппа , то . Нетрудно заметить, что не делится на и . Теперь, согласно условию, . Получили противоречие. Итак, доказали, что , то есть --- -замкнутая группа. Итак, -- группа типа 4).

Пусть теперь

--- -группа. Тогда . Покажем, что . Предположим, что . Пусть . Тогда в найдется максимальная подгруппа такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как и --- собственные подгруппы , то они принадлежат . Очевидно, что , не делятся на и . Тогда, согласно условию, . Противоречие. Отсюда следует, что --- -замкнутая, но тогда --- -замкнута. Тот факт, что ( --- максимальный внутренний локальный экран ) следует из теоремы 2.2.5. Итак, --- группа типа 3). Лемма доказана.