Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 9 из 11)

Следующая теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.

2.2 Теорема [18-A]. Пусть

--- наследственная 2-кратно насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация

содержит любую группу , где и --- -субнормальные -подгруппы из взаимно простых индексов;

2)

--- формация Шеметкова;

3) формация

содержит любую группу , где и --- -субнормальные -подгруппы из ;

4)

.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть

--- произвольная минимальная не -группа. Рассмотрим случай, когда . Как и в теореме 4.2.1 можно показать, что либо --- группа простого порядка , где , либо , где и из . А также нетрудно показать, что --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы . А это значит, что . Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из полноты экрана следует, что . Так как --- внутренний экран, то . А это значит, что . Противоречие. Итак, .

Покажем, что

. Предположим, что это не так. Тогда в найдется неединичная собственная подгруппа . Рассмотрим подгруппу . Так как --- минимальная не -группа и --- собственная подгруппа , то . Покажем, что . Если это не так, то в существует неединичная нормальная -подгруппа . Тогда . Так как , то , что невозможно. Согласно лемме 2.2.12, . Отсюда . Так как , то . А это значит, что . Так как --- насыщенная формация, то . Следовательно, , что невозможно. Итак, , значит, --- группа Шмидта. Итак, --- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, --- группа Шмидта.

Тот факт, что из 2)

3) следует из теоремы 2.2.19; 3) 4) следует из теоремы 2.2.10; 4) 1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема доказана.

Очевидно, что любая сверхрадикальная формация

содержит любую группу , где и -субнормальны в и принадлежат и имеют взаимно простые индексы в .

Следующий пример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщенная формация

, содержащая любую группу , где и -субнормальны в и принадлежат и имеют взаимно простые индексы в .

2.3 Пример. Пусть

--- формация всех сверхразрешимых групп, а --- формация всех -групп, где , и --- различные простые числа. Рассмотрим формацию . Так как существуют минимальные не -группы, которые не являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то не является формацией Шеметкова. Так как , то согласно теореме 3.3.9, формация не является сверхрадикальной формацией.