2.1 Теорема [18-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация,

--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) формация

содержит любую группу

, где

и

---

-субнормальные

-подгруппы и индексы

,

взаимно просты;
2) любая минимальная не

-группа

либо бипримарная

-замкнутая группа

, либо группа простого порядка;
3) формация

имеет полный локальный экран

такой, что

и любая группа из

является примарной

-группой для любого простого

из

.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть

--- произвольная минимальная не

-группа. Предположим, что

, где

--- характеристика формации

. Покажем, что

--- группа простого порядка. Пусть

. Тогда существует простое число

,

. Так как

, то

, что невозможно. Итак,

--- примарная

-группа. Так как

, то, очевидно, что

.
Пусть теперь

. Рассмотрим случай, когда

.
Покажем, что

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

. Предположим противное. Тогда

содержит, по крайней мере, две минимальные нормальные подгруппы

и

. Так как

, то в группе

найдутся максимальные подгруппы

и

такие, что

,

. Так как

и

принадлежат

,

,

, то

,

. Так как

--- формация, то

. Получили противоречие. Итак,

, где

--- единственная минимальная нормальная

-подгруппа группы

.
Покажем, что

--- примарная

-группа, где

. Предположим, что существуют простые числа

, где

. Тогда в

найдутся максимальные подгруппы

и

такие, что

---

-число,

---

-число. Рассмотрим подгруппы

и

. Очевидно, что индексы

и

взаимно просты. Так как

и

, то

. Согласно лемме 3.1.4, подгруппы

и

-субнормальны в

. Так как

--- минимальная не

-группа,

и

--- собственные подгруппы группы

, то

и

. Так как

, то согласно условию,

. Получили противоречие.
Покажем, что

---

-группа, где

. Предположим, что

. Так как

, то согласно лемме 3.1.4,

---

-субнормальная подгуппа группы

. Рассмотрим подгруппу

. Так как

--- собственная подгруппа

и

, то

. Согласно лемме 3.1.4,

---

-субнормальная подгруппа

. Очевидно, что

---

-субнормальная подгруппа

. По лемме 3.1.4,

---

-субнормальная подгруппа группы

. Так как

, то из

и условия теоремы следует, что

. Получили противоречие. Итак,

---

-группа. Тогда

--- бипримарная

-замкнутая группа, где

.