Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 6 из 11)

где

--- -группа, . Согласно условию, --- -группа. А это значит, что --- -замкнутая группа. Но тогда, --- -замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1, --- силовская подгруппа группы . Лемма доказана.

1.4 Лемма [18-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не -группа бипримарна и -замкнута, где , когда:

1)

;

2) формация

имеет полный локальный экран такой, что и любая группа из является примарной -группой для любого простого из .

Доказательство. Необходимость. Пусть

--- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, --- бипримарная -замкнутая группа, где . По лемме 4.1.1, . Согласно лемме 4.1.3, формация имеет полный локальный экран такой, что и для любого простого из . Покажем, что любая группа из примарна. Предположим противное. Тогда существует группа и . Пусть --- группа наименьшего порядка такая, что . Очевидно, что и . Нетрудно заметить, что и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов.

Пусть

. Покажем, что . Поскольку и , то .

Пусть

--- собственная подгруппа из . Покажем, что . Пусть . Если , то . Следовательно, . Пусть . Тогда --- собственная подгруппа из . А это значит, что и . Так как и --- наследственная формация, то . Но тогда и , а значит и .

Пусть теперь

. Так как , то и . Отсюда следует, что . Итак, . Cогласно условию, бипримарна, что невозможно, т. к. .

Достаточность. Пусть

--- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. По теореме 2.2.5,

где

--- -группа, .

Согласно условию,

--- примарная -группа. А это значит, что --- бипримарная -замкнутая группа. Но тогда --- бипримарная -замкнутая группа. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными

-подгруппами, индексы которыхвзаимно просты, наследственно насыщенным формациям

В данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация наследственных насыщенных формаций

, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты.