Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 4 из 11)

отсюда следует

и . Тем самым доказано, что .

Докажем утверждение 2). Очевидно, что

является -корадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы , причем . Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,

Очевидно,

. Если , то

отсюда

. Значит, . Лемма доказана.

Пусть

и --- произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через --- множество всех групп, у которых все -подгруппы принадлежат .

Если

--- локальный экран, то через обозначим локальную функцию, обладающую равенством для любого простого числа .

1.2 Лемма [18-A]. Пусть

и --- некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

--- наследственный класс;

2)

;

3) если

, то ;

4) если

, то --- класс всех групп;

5) если

--- формация, а --- насыщенный гомоморф, то --- формация;

6) если

, , --- некоторые классы групп и --- наследственный класс, то в том и только в том случае, когда ;

7) если

и --- гомоморфы и , то .

Доказательство. Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из определения класса групп

.

Пусть

, --- нормальная подгруппа группы и --- -подгруппа из . Пусть --- добавление к в . Покажем, что . Предположим противное. Пусть не входит в . Тогда обладает максимальной подгруппой , не содержащей . Поэтому , а значит, , что противоречит определению добавления.

Так как

--- насыщенный гомоморф, то . Но тогда и . Значит, класс замкнут относительно гомоморфных образов.

Пусть

. Пусть --- -подгруппа из . Тогда , а значит ввиду определения класса , имеем

Так как

--- формация и , то отсюда получаем, что . Таким образом, .

Докажем утверждение 6). Пусть

, . Если не входит в , то получается, что каждая -подгруппа из принадлежит , а значит, . Получили противоречие. Поэтому .

Покажем, что

. Предположим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда не входит в . Пусть --- собственная подгруппа из . Так как классы и --- наследственные классы, то . Ввиду минимальности имеем . Значит, . Получили противоречие. Поэтому .