Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков (стр. 4 из 4)
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни
- действительные и одного знака. Следовательно, точка N3(0,0) – устойчивый узел.Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1.
| a | О | А | В | С | ∞ | ||
| N1 | N2 | N3 | |||||
| (-∞;0) | с | У+ | с | У- | У+ | с | У+ |
| (0;+∞) | с | У- | с | У+ | У+ | с | У+ |
Примечание: через с, у+, у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.
Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).
а) (a>0)
б) (a<0)
Рис.1
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.
Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.
Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.
Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1, w - сепаратрисы – к точке С и N3.
В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.
В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.
Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.
2 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.
3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.
4 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.
5 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.
6 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.
7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.
8 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.
9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256
10 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения
, где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Поведение траекторий системы (2.1)
 |
 |
а) (а>0)
 |
 |
б) (а<0)
Рис. 2