Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков (стр. 3 из 4)
8192y4-11776ay3+5480a2y2-825a3y=0. (2.4)
Из (2.4) получаем, что
y0=0, y1=
a, y2= 
a, y3= 
a. (2.5)Абсциссы точек покоя имеют вид:
x0=0, x1= -
a, x2= - 
a, x3= - 
a. (2.6)Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия -
, 
, 
, 
.Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия
, 
, 
, 
.1. Исследуем точку
.Составим характеристическое уравнение в точке
[10, с. 1760-1765] 
Отсюда
(2.7) 
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:
= 
=0. 
,Характеристическими числами для точки
системы (2.1) будут 
.Корни
- действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.2. Исследуем точку
.Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно
равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:
, 
,то есть
, 
.Корни
- действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка - устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.3. Исследуем точку
.Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:
, 
.Корни
- действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .4. Исследуем точку
.Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:
,Характеристическими числами для точки
системы (2.1) будут 
,Корни
- действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.
Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:
, (2.8)которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.
Имеем
Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:
(2.9)Введем новое время
. Система (2.9) примет вид: 
(2.10)Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.
Получаем
(2.11)Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем
Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1(0,0) N2(0,
).Исследуем характер точек N1, N2.
1. Исследуем точку N1(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1:
(2.12)Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:
Получим, что
Корни
- действительные и одного знака. Следовательно, точка N1(0,0) - устойчивый узел.2. Исследуем точку N2(0,
).Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2:
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни
- действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2(0, )-седло.Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]
Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:
(2.14)Введем новое время
, тогда система (2.14) примет следующий вид: 
(2.15)При z=0, получаем:
(2.16)Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем
Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3:
