Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков (стр. 2 из 4)

2c₂-g=0 и g=2c₂,

с другой стороны g = 6b₁, значит

c₂=3b₁.

Имея условия f = 2a_1, g = 6b_1, c₂=3b₁, из соотношений (1.11₁) – (1.11₃), (1.12₁), (1.12₃) и (1.13₁) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

a_{2 =}

, b₂ =

,

g₂ =

, b₃ = ,

g₃ =

,(1.15)

d =

.

Равенства (1.12₂) и (1.13₂) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₁, b₁, b₂:

(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+

24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0, (1.16)

(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-

-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd –8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a₂=c₁=0, c₂=3b₁. (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

m(ax+by+a₁x²+2b₁xy)+n(cx+dy+2b₂xy+3b₁y²)=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях x^myⁿ, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a₁-a)m= 0, (1.21₁)

(2b₁-b)m+(2b₂-a)n=0, (1.21₂)

(3b₁-b)n=0; (1.21₃)

(a-g)m+cn-pa=0, (1.22₁)

bm+(d-g)n-bp= 0, (1.22₂)

pg= 0. (1.22₃)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.22₃) получаем, что g=0.

Условия (1.22₁), (1.22₂) запишутся в виде:

am+cn-pa=0, (1.23₁)

bm+dn-bp= 0. (1.23₂)

Из условий (1.21₁) и (1.21₃) имеем:

(a₁-a)m= 0,

(3b₁-b)n=0.

Пусть m¹0, тогда a₁-a=0 и

a=a₁, (1.24)

а при n¹0, получаем, что 3b₁-b=0 и

b=3b_1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.21₂) находим выражение коэффициента m:

m=

, (1.26)

а соотношение (1.23₁) даст значение коэффициента p:

p=

. (1.27)

Из равенства (1.23₂), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+

24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0,

(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-

-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd –8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0,

[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0.

Причем b₁¹0, a₁¹0, 2b₁a-ba₁¹0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a₁=

, b₁=1, b₂=0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

a- b-3c+ d=0, (1.30)

-

a+ b+6c- d=0, (1.31)

-

a²+ d²+ ac+ bc- bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c=

a- b+ d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d=

(-21a+ b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=

a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=

a,

c=-

a, (1.35)

d=-

a,

a₁=

, b₁=1, a₂=0, c₁=0, b₂=0, c₂=3b₁=3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

a₂=12a, b₂= -

a,

g₂=a, b₃=

a²,

g₃= -

a²,d= a³, (1.36)

m= -

n, p= - an.

Теорема 1.3Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

(2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x³+12ax²-

axy+ay²+ a²x- a²y+ a³=0, (2.2)

-

nx+ny- an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия: