Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 4 из 7)
Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1.
| d |  |  |  |  | ∞ |
| x=0 | |||||
| (-∞; 0) | седло | неуст. узел | уст. узел | седло | уст. узел |
| (0; +∞) | седло | уст. узел | неуст. узел | седло | уст. узел |
Положение кривых (2.2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.1 (а, б).
Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается рис.4 (а, б) приложения А: Поведение траекторий системы (2.1).
Исследуя вид кривых (2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьев А.П. [5] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (1.3) и (1.13), являющиеся интегралами системы (2.1), характер состояния, заключаем, что для системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.
а (d<0)
б (d>0)
Рис. 1
2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)
Будем проводить наше исследование в предположении, что
Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются формулами (1.41) - (1.42). Тогда система (1.1) будет иметь вид:
(2.8)Интегральные кривые в этом случае имеют вид:
(2.9) 
(2.10)Частный интеграл (1.13) в этом случае преобразовывается в две прямые (2.10)
1. Найдем состояния равновесия системы (2.8). Для этого приравняем правые части системы нулю
Рассмотрим два случая:
Получаем:
Из первого уравнения найдем y:
и подставляя y во второе уравнение получим:
Решая это уравнение, находим:
.Итак, получаем
, 
, 
Итак, получаем точки
, 
, 
, 
и прямую x=0, которая является траекторией системы (2.8).
2. Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия
Исследуем точку
.Составим характеристическое уравнение в точке
. 
Отсюда
(2.11) 
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:
Характеристическими числами для точки
системы (2.8) будут 
, 
.Корни
- действительные и различных знаков не зависимо от параметра d, значит точка - седло.Исследуем точку
.Согласно (2.11) составим характеристическое уравнение в точке
: 
Характеристическими числами для точки
системы (2.8) будут 
, 
.Корни
- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка - неустойчивый узел, а если d>0, то точка - устойчивый узел.3. Исследуем поведение траекторий в окрестности точки
.Составим характеристическое уравнение согласно (2.11)
.Характеристическими числами для точки
системы (2.8) будут 
, Корни
- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка - устойчивый узел, если d>0, то точка - неустойчивый узел.4. Исследуем поведение траекторий в окрестности точки
.Согласно (2.11) составим характеристическое уравнение:
Характеристическими числами для точки
системы (2.8) будут 
, 
Корни
- действительные и разных знаков не зависимо от параметра d, следовательно - седло.Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости системы (2.8) вне концов оси oy. Преобразование [7]
переводит систему (2.8) в систему: 
(2.12)где
.Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Получаем:
Следовательно
.Таким образом, получаем две точки N1 (0,-1) и N2 (0,1), которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.